Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
צורת ז'ורדן של מטריצה ריבועית היא מטריצה דומה ל-, שיש לה מבנה של מטריצת בלוקים המורכבת מ"בלוקי ז'ורדן" (ראו להלן). צורת ז'ורדן מכלילה את המטריצות האלכסוניות. יתרונה בכך שמעל שדה סגור אלגברית (כמו שדה המספרים המרוכבים) לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן, בעוד שלא כל המטריצות לכסינות. צורת ז'ורדן אמנם כללית יותר מן הצורה האלכסונית, אבל היא נוחה לחישוב כמעט באותה מידה. בדומה לצורה האלכסונית, הערכים באלכסון של צורת ז'ורדן הם הערכים העצמיים של המטריצה.
את התאוריה של צורות ז'ורדן פיתח המתמטיקאי הצרפתי קמי ז'ורדן.
לכל סקלר ולכל סדר , בלוק ז'ורדן מסדר המתאים ל- הוא המטריצה המשולשית , בגודל , שרכיבי האלכסון שלה שווים ל-, הרכיבים הסמוכים לאלכסון הראשי מעליו שווים ל-1, וכל שאר רכיבי המטריצה הם 0. לדוגמה: בלוק ז'ורדן מסדר 4 המתאים לערך העצמי 9,
הפולינום המינימלי של בלוק ז'ורדן הוא , וכל מטריצה (מסדר ) שזה הפולינום המינימלי שלה דומה לבלוק ז'ורדן המתאים. ההפרש בין כל שני בלוקי ז'ורדן מאותו סדר הוא מטריצה סקלרית, והבלוק המתאים ל-0 הוא מטריצה נילפוטנטית.
מטריצת בלוקים המורכבת מבלוקי ז'ורדן, בסדר כלשהו, נקראת מטריצת ז'ורדן. מטריצות ז'ורדן הן דומות זו לזו רק כאשר הן מורכבות מאותם בלוקים, עד כדי סדר, ולכן המונח "צורת ז'ורדן" מתייחס לפעמים לקבוצת הבלוקים המרכיבים את המטריצה, ולאו דווקא אל המטריצה עצמה.
למטריצה יש צורת ז'ורדן מעל שדה נתון, אם ורק אם הפולינום האופייני של המטריצה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה. בפרט, לכל מטריצה (ממשית או מרוכבת) יש צורת ז'ורדן מעל המספרים המרוכבים.
לכל מטריצה (שיש לה צורת ז'ורדן) יש צורת ז'ורדן יחידה (עד כדי תמורה על סדר הבלוקים). לכן שתי מטריצות דומות זו לזו אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן. מצורת ז'ורדן אפשר להסיק כמה וכמה תכונות של המטריצה, שהן אינווריאנטיות להצמדה:
לדוגמה, צורת ז'ורדן של מטריצה אלכסונית היא המטריצה האלכסונית עצמה.
אם הערכים העצמיים של המטריצה ידועים, אפשר למצוא את צורת ז'ורדן שלה באמצעות חישוב הדרגות בנוסחה הנתונה בתכונה 4 לעיל. הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי בפולינום האופייני ובפולינום המינימלי מספקים בדרך כלל מידע חלקי; אלא שאם הם שווים, למטריצה יש רק בלוק ז'ורדן אחד המתאים לאותו ערך עצמי.
כידוע, כל מטריצה מייצגת העתקה ליניארית בכל בסיס, והצמדת המטריצה שקולה להחלפת הבסיס; מטריצות צמודות (דומות) מייצגות את אותה העתקה ליניארית. כך אפשר לנסח את התכונות של צורת ז'ורדן בשפה של העתקות ליניאריות: הצמדת מטריצה לצורת ז'ורדן שלה שקולה למציאת פירוק של המרחב הווקטורי ל"תת-מרחבים ציקליים". תת-מרחב ציקלי הוא תת-מרחב ווקטורי שיש לו בסיס הכולל את הווקטורים השונים מאפס בסדרה עבור מתאים (ולכן בהכרח ל- גדול מספיק; בסיס כזה נקרא בסיס ציקלי של תת-המרחב; ראו גם מודול ציקלי). איחוד הבסיסים האלה בפירוק של המרחב נותן את צורת ז'ורדן של המטריצה המייצגת באופן הבא: אם היא ההעתקה שהמטריצה מייצגת בבסיס הסטנדרטי, אז היא צורת ז'ורדן של אם ורק אם העמודות של מהוות בסיס בעל המבנה הציקלי הנזכר לעיל.
תהי טרנספורמציה ליניארית שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה, הערכים העצמיים השונים, ותהי המטריצה המייצגת של בבסיס הסטנדרטי. נראה כיצד למצוא בסיס על פיו מיוצגת על ידי מטריצת ז'ורדן. לכל ערך עצמי של נסמן ב- את הריבוי האלגברי של . יהי המרחב העצמי המוכלל של , שהוא אוסף כל הווקטורים עבורם קיים כך ש: . נסמן ב- את הצמצום של אל המרחב (שהוא מוגדר היטב מכיוון ש- הוא תת-מרחב אינווריאנטי). הטרנספורמציה היא נילפוטנטית מסדר (ולמעשה ).
כעת, אפשר להוכיח שכל מרחב עצמי מוכלל הוא סכום ישר של תתי-מרחבים ציקליים; לכל אחד מתתי-המרחבים הציקליים יש בסיס ציקלי והאיחוד של בסיסים אלה יוצר בסיס למרחב כולו.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.