איבר אלגברי

במתמטיקה, איבר אלגברי בשדה ${\displaystyle K}$ מעל תת-שדה ${\displaystyle F}$ הוא איבר המאפס פולינום (שונה מאפס) שכל המקדמים שלו שייכים ל-${\displaystyle F}$. איבר שאינו אלגברי נקרא טרנסצנדנטי.

את ההגדרה אפשר להכליל לכל אלגברה אסוציאטיבית (או לכל הפחות בעלת חזקה אסוציאטיבית) ${\displaystyle A}$ מעל חוג קומוטטיבי ${\displaystyle C}$: איבר a ב-A הוא אלגברי אם הוא מאפס פולינום (שונה מאפס) שכל המקדמים שלו שייכים ל-${\displaystyle C}$. אלגברה (מעל שדה) שכל איבריה אלגבריים נקראת אלגברה אלגברית.

ההגדרה מכלילה את ההגדרה המקובלת למספר אלגברי, באופן שמספרים אלגבריים הם האיברים האלגבריים של שדה המספרים המרוכבים מעל שדה המספרים הרציונליים. מושג דומה, ועדין יותר, הוא זה של איבר שלם - כל איבר שלם הוא אלגברי, אבל לא להפך. אם ${\displaystyle C}$ הוא שדה, שני המושגים מתלכדים. בעוד שאיבר של האלגברה ${\displaystyle A}$ מעל החוג הקומוטטיבי ${\displaystyle C}$ הוא אלגברי אם הוא מאפס פולינום שכל מקדמיו שייכים ל-${\displaystyle C}$, האיבר הוא שלם אם הוא מאפס פולינום מתוקן.

באלגברה מממד סופי, כמו למשל אלגברת מטריצות מעל שדה, כל איבר הוא אלגברי. אלגבריות בהרחבת שדות קשורה קשר הדוק לממד. אם ${\displaystyle K/F}$ היא הרחבה כזו, אז ${\displaystyle \ a\in K}$ הוא אלגברי אם ורק אם השדה ${\displaystyle \ F[a]}$ הנוצר על ידי ${\displaystyle a}$ מעל ${\displaystyle F}$ הוא בעל ממד סופי. באלגברה כללית ${\displaystyle A}$, איבר ${\displaystyle a}$ הוא שלם אם ורק אם ${\displaystyle \ C[a]}$ נוצר סופית כמודול מעל ${\displaystyle C}$. מזה נובעת תכונה חשובה: אם a מאפס פולינום שכל מקדמיו שלמים, אז הוא שלם בעצמו. מכאן נובע שאוסף כל האיברים של ${\displaystyle A}$ שהם שלמים מעל ${\displaystyle C}$ הוא תת-אלגברה (הנקראת הסגור השלם של ${\displaystyle C}$ בתוך ${\displaystyle A}$). אם כל איבר של ${\displaystyle A}$ שלם מעל ${\displaystyle C}$, אז ${\displaystyle A}$ הוא הרחבה שלמה של ${\displaystyle C}$.

את מושג הטרנסצנדנטיות אפשר להכליל כדי לטפל בכמה איברים. ${\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ הם איברים בלתי תלויים אלגברית אם לא קיים אף פולינום שונה מאפס ב-${\displaystyle n}$ משתנים ${\displaystyle \ f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ מעל חוג הבסיס C, כך ש- ${\displaystyle \ f(a_{1},\dots ,a_{n})=0}$. המספר הגדול ביותר של איברים בלתי תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של ${\displaystyle A}$ מעל ${\displaystyle C}$.

קישורים חיצוניים

• איבר אלגברי, באתר MathWorld (באנגלית)