אי-תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת-קבוצה ${\displaystyle S}$ של אלגברה ${\displaystyle A}$ נקראת בלתי-תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס ${\displaystyle {\mathbb {K}}}$, אם לא קיים פולינום לא-טריוויאלי עם מקדמים מ-${\displaystyle {\mathbb {K}}}$ שמתאפס על ידי תת-קבוצה סופית של איברי ${\displaystyle S}$.
במילים אחרות, ${\displaystyle S}$ היא בלתי-תלויה אלגברית אם לכל ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in S}$ ולכל פולינום ${\displaystyle P\in {\mathbb {K}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ שאיננו פולינום האפס, מתקיים ${\displaystyle P(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\neq 0}$.

בפרט, קבוצה בת איבר אחד ${\displaystyle \{\alpha \}}$ היא בלתי-תלויה אלגברית מעל ${\displaystyle {\mathbb {K}}}$ אם ורק אם ${\displaystyle \alpha }$ הוא טרנסצנדנטי מעל ${\displaystyle {\mathbb {K}}}$. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי-תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטיים מעל ${\displaystyle {\mathbb {K}}}$, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך.

לדוגמה, התת-קבוצה ${\displaystyle {\bigl \{}{\sqrt {\pi }},2\pi +1{\bigr \}}}$ של שדה המספרים הממשיים איננה בלתי-תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונליים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונליים

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$

מתקיים ${\displaystyle P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0}$.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי-תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של ${\displaystyle A}$ מעל ${\displaystyle {\mathbb {K}}}$.

השאלה האם הקבוצה ${\displaystyle \{\pi ,e\}}$ היא תלויה אלגברית מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה ${\displaystyle {\bigl \{}\pi ,e^{\pi },\Gamma (0.25){\bigr \}}}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

משפט לינדמן-ויירשטראס

ערך מורחב – משפט לינדמן-ויירשטראס

לעיתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס (על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס) כדי להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי-תלויה אלגברית מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

לינדמן הוכיח ב-1882 כי ${\displaystyle {\rm {e}}^{\alpha }}$ הוא מספר טרנסצנדנטי לכל מספר אלגברי ${\displaystyle \alpha \neq 0}$.

ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט, הטוענת כי אם ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ הם מספרים אלגבריים בלתי-תלויים ליניארית מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ אזי המספרים ${\displaystyle {\rm {e}}^{\alpha _{1}},\ldots ,{\rm {e}}^{\alpha _{n}}}$ הם בלתי-תלויים אלגברית מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

ראו גם

• משפט הנורמליזציה של נתר

קישורים חיצוניים

• אי-תלות אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)