משפט הקטגוריה של בר

משפט הקטגוריה של בר (Baire) הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית. המשפט קובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בר.^[1]

המשפט מהווה בסיס מרכזי להוכחת משפטים חשובים אחרים, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס. המשפט מוכיח כי המרחבים ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ הם מרחבי בר עם הטופולוגיה הסטנדרטית.

המשפט הוכח לראשונה בשנת 1899 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בר.^[2]

מונחים בסיסיים

בהינתן מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ וטופולוגיה ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$:

• קבוצה ${\displaystyle N\subseteq X}$ תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם לכל קבוצה פתוחה לא ריקה ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ קיימת תת-קבוצה פתוחה לא ריקה ${\displaystyle {\mathcal {T}}\ni V\subseteq U}$ כך ש-${\displaystyle N\cap V=\emptyset }$. לחלופין, הפנים של הסגור של ${\displaystyle N}$ ריק.
• קבוצה ${\displaystyle A\subseteq X}$ תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא יכולה להכתב כאיחוד בן מניה של קבוצות דלילות.
• המרחב ${\displaystyle X}$ כולו ייקרא מרחב בר אם ורק אם לכל תת-קבוצה ${\displaystyle A\subseteq X}$ מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.

באופן כללי קבוצה מקטגוריה ראשונה אינה בהכרח דלילה. כך לדוגמה, המספרים הרציונליים הם קבוצה מקטגוריה ראשונה (כאיחוד בן מנייה של יחידונים, שהם דלילים), והפנים של הסגור שלהם הוא כל הישר הממשי.

ניסוח המשפט

למשפט שני ניסוחים:

משפט בר הראשון: יהי ${\displaystyle X}$ מרחב מטרי שלם. אזי, ${\displaystyle X}$ הוא מרחב בר.

משפט בר השני: יהי ${\displaystyle X}$ מרחב רגולרי קומפקטי מקומית. אזי ${\displaystyle X}$ הוא מרחב בר. הדבר נכון בפרט כאשר ${\displaystyle X}$ הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.

תקציר הוכחת המשפט

נתון מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ וטופולוגיה ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ העונה לתנאים של אחד המשפטים לעיל. כמו כן, נתונה קבוצה מקטגוריה ראשונה ${\displaystyle A\subseteq X}$. כדי להוכיח ש-${\displaystyle X}$ הוא מרחב בר, יש להוכיח כי הפנים של ${\displaystyle A}$ ריק. מספיק להוכיח כי לכל קבוצה פתוחה ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ קיימת נקודה שאינה ב-${\displaystyle A}$, כלומר ${\displaystyle U\cap A^{\complement }\neq \emptyset }$.^[3]

כיוון ש-${\displaystyle A}$ קבוצה מקטגוריה ראשונה, ניתן להגדיר ${\displaystyle A=\bigcup A_{n}}$ כאשר ${\displaystyle A_{n}}$ קבוצות דלילות. בונים סדרה של קבוצות קומפקטיות ${\displaystyle \{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ כך שלכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

1. ${\displaystyle \operatorname {Int} (B_{n})}$ (הפנים של ${\displaystyle B_{n}}$) לא ריק, ולכן גם ${\displaystyle B_{n}}$ לא ריק.
2. ${\displaystyle B_{n}\subseteq U\cap A_{n}^{\complement }}$
3. ${\displaystyle B_{n+1}\subset \operatorname {Int} (B_{n})}$.

יש לשים לב כי בשתי גרסאות המשפט מובטח כי כל קבוצה קומפקטית היא סגורה, לכן ${\displaystyle B_{n}}$ קבוצות סגורות. כאשר מדובר במרחב מטרי, ${\displaystyle B_{n}}$ נבנים בעזרת כדורים סגורים. במקרה של מרחב טופולוגי קומפקטי מקומית, בונים את ${\displaystyle B_{n}}$ על-ידי לקיחת סביבה קומפקטית לאיבר כלשהו מ-${\displaystyle B_{n-1}}$ העומדת בתנאים.

כעת מגדירים ${\displaystyle B:=\bigcap _{n=1}^{\infty }{B_{n}}}$. יש להוכיח כי ${\displaystyle B}$ אינו ריק. מניחים בשלילה כי ${\displaystyle B}$ קבוצה ריקה. לכן משפחת המשלימים ${\displaystyle \{B_{n}^{\complement }\}_{n=2}^{\infty }}$ היא כיסוי פתוח של ${\displaystyle B_{1}}$. בגלל הקומפקטיות של ${\displaystyle B_{1}}$ קיים תת-כיסוי סופי. ניתן להסיק מכך כי קיים ${\displaystyle n\geq 2}$ כך ש-${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{n}^{\complement }}$. מצד שני ${\displaystyle \emptyset \neq B_{n}\subset B_{1}}$, וזו סתירה.

מכיוון ש-${\displaystyle B}$ אינו ריק, קיים ${\displaystyle x\in B}$. לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ מתקיים ${\displaystyle x\in B\subseteq B_{n}\subseteq U\cap A_{n}^{\complement }}$. לכן:

${\displaystyle x\in U\cap \bigcap _{n=1}^{\infty }{A_{n}^{\complement }}=U\cap \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\right)^{\complement }=U\cap A^{\complement }}$

משמע ${\displaystyle U\cap A^{c}\neq \emptyset }$, ובכך מוכיחים את המשפט. מ.ש.ל.

מסקנות מן המשפט

• במרחב הפונקציות הרציפות עם מטריקת המקסימום, אוסף הפונקציות הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. מכאן, כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת. יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו. דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה ניתנה על ידי ויירשטראס בשנת 1872.
• כאמור, ניתן להסיק ממשפט הקטגוריה של בר מספר משפטים חשובים באנליזה פונקציולית, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס.
• קבוצת הנקודות הרציונליות על הישר הממשי אינה קבוצת ${\displaystyle G_{\delta }}$ (קבוצה הניתנת להצגה כחיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות).
• אין פונקציה שרציפה בכל נקודה רציונלית ואינה רציפה באף נקודה אי-רציונליות (פונקציית רימן מקיימת את המקרה ההפוך).
• סדרת פונקציות רציפות שמתכנסת נקודתית מתכנסת לפונקציה רציפה כמעט בכל מקום (אינה רציפה בקבוצה מקטגוריה ראשונה).