DOP

DOP (ראשי תיבות באנגלית של: Dilution Of Precision - "דילוּל הדיוּק") או GDOP (ר"ת: Geometric Dilution Of Precision) הוא מונח בתחום ניווט לוויינים והנדסה גאומטית (Geomatics) המתאר את השינוי המצטבר של גאומטרית לווייני ניווט על מדידת מיקום מדויקת.

נקודה A היא מדידת צופה את המרחק לשתי נקודות קרקעיות וחישב את הנקודה כחיתוך בין שני העיגולים עם הרדיוס הנמדד.
נקודה B היא אותה מדידה אך עם תחום שגיאה, הנקודה תהיה היכן שהוא בתוך התחום הירוק.
נקודה C היא מדידה עם אותו תחום שגיאה, אך רואים באופן ברור כי תחום אי הוודאות גדול משמעותית.

מערכת לוויינים עם גאומטריה לא טובה עבור GDOP

מערכת לוויינים עם גאומטריה טובה עבור GDOP

מבוא

הצורך בחישוב DOP עלה עם השימוש במערכת ניווט הרדיו "LORAN" שפוחתה על ידי ארצות הברית בימי מלחמת העולם השנייה^[1], הרעיון של DOP גאומטרי הוא לחשב את השפעת הטעות במדידה על התוצאה הסופית. GDOP יכול להיות מוגדר על ידי: ^[2]

${\displaystyle GDOP={\frac {\Delta ({\rm {Output\ Location}})}{\Delta ({\rm {Measured\ Data}})}}}$
באופן אידיאלי שינויים קטנים במידע הנמדד לא יהוו שינוי גדול בנקודה המחושבת הסופית, שאם לא כן יהיה הפתרון המוצע רגיש לשינויים.

בשנים מאוחרות יותר, כאשר מערכת הנווט GPS נכנסה לשימוש נרחב, המושג הפך שגור יותר. להוציא השפעות יונוספריות ^[3] וטרופוספריות^[4], האות המתקבל מלווייני הנווט הוא בעל דיוק קבוע. אי לכך, הגאומטריה של הלוויינים הנקלטים הופכת לגורם משמעותי בקביעת הדיוק של מיקומים וזמנים. עקב הגאומטריה היחסית בין הלוויין והמקלט, הדיוק בפסאודו-טווח של הלוויין מתורגם לרכיב בכל אחד מארבעת הממדים - ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ו ${\displaystyle t}$.

חישוב ערכי DOP

ראשית נבחן את הווקטור מהמקלט ללוויין i: ${\displaystyle \scriptstyle \left({\frac {(x_{i}-x)}{R_{i}}},{\frac {(y_{i}-y)}{R_{i}}},{\frac {(z_{i}-z)}{R_{i}}}\right)}$

כאשר ${\displaystyle \scriptstyle R_{i}={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}}$

וכאשר ${\displaystyle \scriptstyle \ x,\ y}$ ו-${\displaystyle \scriptstyle \ z}$ מציין את מיקום המקלט ו ${\displaystyle \scriptstyle \ x_{i},y_{i}}$ ו-${\displaystyle \scriptstyle \ z_{i}}$ מציין את מיקום הלוויין i. מתקבלת המטריצה A כ:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {(x_{1}-x)}{R_{1}}}&{\frac {(y_{1}-y)}{R_{1}}}&{\frac {(z_{1}-z)}{R_{1}}}&-1\\{\frac {(x_{2}-x)}{R_{2}}}&{\frac {(y_{2}-y)}{R_{2}}}&{\frac {(z_{2}-z)}{R_{2}}}&-1\\{\frac {(x_{3}-x)}{R_{3}}}&{\frac {(y_{3}-y)}{R_{3}}}&{\frac {(z_{3}-z)}{R_{3}}}&-1\\{\frac {(x_{4}-x)}{R_{4}}}&{\frac {(y_{4}-y)}{R_{4}}}&{\frac {(z_{4}-z)}{R_{4}}}&-1\end{bmatrix}}}$

שלשת האלמנטים הראשונים בכל שורה של A הם רכיבי הווקטור מהמקלט ללוויין. אם האלמנטים בטור הרביעי הם C המציין את מהירות האור, אזי ${\displaystyle \sigma _{t}}$ (הזחה בזמן) הוא תמיד 1. אם האלמנטים בטור הרביעי הם 1- אז ${\displaystyle \sigma _{t}}$ מחושב כראוי^[5].

נגדיר את המטריצה Q כ:

${\displaystyle Q=\left(A^{T}A\right)^{-1}}$

חישוב זה תואם את סעיף 1.4.2 של עקרונות ניווט לוויינים^[6] כאשר מטריצת המשקל P, נקבעה להיות מטריצת היחידה.

האלמנטים של Q יהיו אם כן:

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^{2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}}$

PDOP, TDOP ו GDOP נתונים על ידי:

${\displaystyle {\begin{aligned}PDOP&={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\TDOP&={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\GDOP&={\sqrt {PDOP^{2}+TDOP^{2}}}\\\end{aligned}}}$

בתאימות עם סעיף 1.4.9 של עקרונות ניווט לוויינים^[7].

קישורים חיצוניים

• מאמר בנושא שגיאת מיקום (כולל חישוב DOP) באתר Navipedia