Mandelbrotov skup

Mandelbrotov skup je skup točaka c kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.

Mandelbrotov skup

Konstrukcija

Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrijednost c odgovara koordinati kompleksne ravnine na kojoj se nalazi središte svakog od njih.

U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.

Svojstva

Osnovna

Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravnini

Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) kruga polumjera 2 sa središtem u ishodištu. Štoviše, točka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi ${\displaystyle |f_{c}^{n}(0)|\leq 2}$ za sve ${\displaystyle n\geq 0}$. Drugim riječima, ako je apsolutna vrijednost ${\displaystyle f_{c}^{n}(0)}$ za neki ${\displaystyle n\geq 0}$ veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presjek Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje interval [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako ${\displaystyle {\sqrt {6\pi -1}}-e=1.506591651\ldots }$

Samosličnost

Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podjela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

Atraktori perioda-n

Skupovi točaka konvergiraju onom broju vrijednosti kojim su označene.

Zanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-n ako iz njih "viri" n-1 "antena":

Galerija uvećavanja

Svaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 milijuna kilometara.

početak	1. korak	2. korak	3. korak	4. korak
5. korak	6. korak	7. korak	8. korak	9. korak
10. korak	11. korak	12. korak	13. korak	14. korak

Varijacije

multibrot skupovi trećeg i četvrtog stupnja

Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije ${\displaystyle f(z_{n-1})=z_{n}^{b}+c,b>2}$. Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

Vidi još

Logotip Zajedničkog poslužitelja

Zajednički poslužitelj ima stranicu o temi Mandelbrotov skup

• Fraktali
• Julijin skup
• Gorući brod (fraktal)

Vanjske poveznice

• "Mandelbrot set – The most advanced online generator"