Alapfogalom

A matematikában, a logikában, a filozófiában és a formális rendszerekben az alapfogalom korábban definiált fogalmakból nem levezethető fogalom. Gyakran informálisan határozzák meg intuíció és mindennapi tapasztalatok alapján. Egy axiomatikus elméletben az alapfogalmak közti kapcsolatokat axiómák korlátozzák.^[1] Egyes szerzők ez utóbbit az alapfogalmak egy vagy több axióma általi „definiálásának” nevezik, de ez félrevezető lehet. A formális elméletek nem rendelkezhetnek alapfogalmakkal, így végtelen regresszió jellemzi a regresszióprobléma alapján.

Például a modern geometriában a pont, a vonal és az. ha egy alakzat egy másik része, alapfogalmak. Definiálásuk helyett^{[* 1]} kapcsolatukat Hilbert axiómarendszerében axiómák határozzák meg, például „Bármely két pontra van vonal, melynek mindkettő eleme”.^{[* 2]}

Részletek

Alfred Tarski az alapfogalmak szabályát így határozta meg:^[2]

Ha egy adott elméletet meghatározunk, előbb megkülönböztetünk néhány, nekünk azonnal érthetőnek tűnő kifejezést, e kifejezéseket alap- vagy nem definiált fogalmaknak nevezzük, és ezeket jelentésük magyarázata nélkül használjuk. Ekkor azon elvet érvényesítjük, hogy az elmélet más kifejezéseit nem használjuk, kivéve, ha jelentését előbb az alap- és a korábban megismert fogalmakkal meg nem magyaráztuk. A fogalom jelentését meghatározó mondat a definíció…

Az alapfogalmakra való regressziót az ismeretelméletben Gilbert de B. Robinson írta le:

Egy nem matematikust gyakran meglep, hogy nem lehet definiálni minden használt fogalmat. Ez nem felszíni probléma, hanem minden tudás alapjában van: valahol el kell indulni, és hogy előrehaladjunk, le kell írnunk, mely elemek és kapcsolatok definiálatlanok, és mely tulajdonságokat tekintünk biztosnak.^[3]

Példák

Az alapfogalmak szükségességét számos axiomatikus matematikai elmélet illusztrálja:

• Halmazelmélet: A halmaz fogalma alapfogalom. Mary Tiles szerint^[4] „a halmaz »definíciója« nem definíció, inkább kísérlet valaminek megmagyarázására, melyet alap-, nem definiált fogalomnak tekintünk”. Bizonyítékként Felix Hausdorffot idézi: „Egy halmaz egyes objektumok egésszé csoportosításával keletkezik. A halmaz egy sokaság, melyre egységként tekintünk.”
• Naiv halmazelmélet: Az üres halmaz alapfogalom. Létének feltételezése implicit axióma.
• Peano-aritmetika: A szukcesszorfüggvény és a nulla alapfogalmak. Mivel a Peano-aritmetika a számok tulajdonságaiban fontos, az alapfogalmak által jelölt objektumok nem feltétlenül számítanak szigorúan.^[5]
• Axiomatikus rendszerek: Az alapfogalmak a rendszer axiómáitól függnek. Alessandro Padoa ezt az 1900-as párizsi Nemzetközi Filozófiai Kongresszusban írta le.^[6] Maguknak a fogalmaknak nem feltétlenül kell létezniük, Susan Haack (1978) szerint „egy axiómahalmaz néha az alapfogalmak implicit definícióját szolgálja”.^[7]
• Euklideszi geometria: Hilbert axiómarendszere szerint a pont, a vonal, a sík, az egybevágóság, a köztesség és az incidencia alapfogalmak, Peano axiómarendszere szerint pedig a pont, a szakasz és a mozgás.

Russell alapjai

Matematikafilozófiai könyvében, A matematika alapjaiban Bertrand Russell a következő fogalmakat használta: Osztálykalkulusban (halmazelmélet) relációkat használt, ahol a halmazban való létet tekintette alapfogalomnak. Alapfogalomnak tekintette a halmazok létrehozásához szükséges propozíciós függvényeket és az „úgy, hogy” kifejezést (9., 18. o.), az xRy reláció megfordítását és komplementerét, a relációk logikai és relatív szorzatát (25. o.), és leírta, hogy az objektumok leírásában is szerepe van egy alapfogalomnak (27. o.). Russell könyvében kimondja: „A tiszta matematika csak kevés fogalmat használ, és ezek logikai állandók”. (xxi. o.).

Megjegyzések

1. Eukleidész még definíciókat adott az Elemekben, például: „A vonal szélesség nélküli hosszúság”.
2. A prédikátumlogika definíciója szerint: ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in P:\exists y\in L:x_{1}\in y\land x_{2}\in y}$,ahol P a pontok, L a vonalak halmaza.