Momentumgeneráló függvény

A momentumgeneráló függvény a valószínűségi változókhoz rendelt függvények egyike. Sok esetben definiálható a függvény a nulla egy környezetében a komplex síkon vagy a valós számok egy szakaszán, és deriváltjai segítenek kiszámítani a valószínűségi változó momentumait, innen a neve.

Definíció

Egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye:^[1]

${\displaystyle M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right)}$,

ahol ${\displaystyle t}$ a függvény változója. A momentumgeneráló függvény ott van értelmezve, ahol a jobb oldali várható érték létezik. Mindenesetre a konvergencia igaz a ${\displaystyle t=0}$ pontban. Sok esetben ennek egy környezetében is teljesül a konvergencia, így a függvény hatványsorba fejthető:

${\displaystyle M_{X}(t)=E\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(tX)^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}E(X^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}m_{X}^{n}}$.

Ahol ${\displaystyle 0^{0}:=1}$ és ${\displaystyle m_{X}^{n}=E(X^{n})}$ az ${\displaystyle X}$ momentumai.

A momentumgeneráló függvény csak ${\displaystyle X}$ eloszlásától függ. Ha a valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye a nulla egy környezetében is konvergál, akkor az eloszlásnak van momentumgeneráló függvénye. Ha ${\displaystyle M_{X}(t)}$ csak a nullában értelmezhető, akkor az eloszlásnak nincs momentumgeneráló függvénye.

Folytonos valószínűségeloszlások

Ha ${\displaystyle X}$ eloszlása folytonos az ${\displaystyle f}$ folytonos sűrűségfüggvénnyel, akkor a várható érték helyettesítésével teljesül, hogy

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}}{2!}}x^{2}+\dotsb \right)f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =1+tm_{X}^{1}+{\frac {t^{2}}{2!}}m_{X}^{2}+\dotsb }$

ahol ${\displaystyle m_{X}^{k}}$ az ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$-adik momentuma. Az ${\displaystyle M_{X}\left(-t\right)}$ éppen az ${\displaystyle X}$ által meghatározott mérték kétoldali Laplace-transzformációja.

Megjegyzések

Elnevezés

A momentumgenerátor név abból ered, hogy a függvény deriváltjai a nulla helyen éppen a valószínűségeloszlás momentumait veszik fel, mégpedig a ${\displaystyle k}$-adik derivált a ${\displaystyle k}$-adik momentumot:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}M_{X}(t){\biggr \vert }_{t=0}=E(X^{k})=m_{X}^{k}}$,

ahogy az a fenti hatványsorból is kiolvasható. Az összes létező és nem eltűnő momentummal az eloszlás egyértelmű, feltéve, ha a momentumgeneráló függvény értelmezhető egy nyílt ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ szakaszon, ahol ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Kapcsolat a karakterisztikus függvénnyel

A momentumgeneráló függvény kapcsolódik az eloszlás ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\left(e^{\mathrm {i} tX}\right)}$ karakterisztikus függvényéhez. Momentumgeneráló függvény létezése esetén ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(\mathrm {i} t)}$. Szemben a momentumgeneráló függvénnyel, karakterisztikus függvénye minden valószínűségi változónak van.

Kapcsolat a valószínűséggeneráló függvénnyel

Valószínűséggeneráló függvénye csak olyan eloszlásoknak van, amelyek értékei ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$-beliek. Ekkor ez a függvény ${\displaystyle m_{X}(t)=\operatorname {E} (t^{X})}$. Ekkor diszkrét változókra ${\displaystyle m_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$ .

Kapcsolat a kumulánsgeneráló függvénnyel

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle vezetik le a kumulánsokat.

Független valószínűségi változók összege

Független valószínűségi változók összegének momentumgeneráló függvénye a valószínűségi változók momentumgeneráló függvényeinek szorzata. Azaz, ha ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ független valószínűségi változók, akkor ${\displaystyle Y=X_{1}+\dotsb +X_{n}}$ momentumgeneráló függvénye:

${\displaystyle M_{Y}(t)=E(e^{tY})=E(e^{tX_{1}+\ldots +tX_{n}})=E(e^{tX_{1}}\cdots e^{tX_{n}})=E(e^{tX_{1}})\cdots E(e^{tX_{n}})=M_{X_{1}}(t)\cdots M_{X_{n}}(t)}$,

ahol az utolsó előtti egyenlőség azt használja fel, hogy független valószínűségi változók összegének várható értéke a valószínűségi változók várható értékeinek szorzata.

Egyértelműség

Ha egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye véges a nulla egy környezetében, akkor egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását.^[2]

Legyenek ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ valószínűségi változók, az ${\displaystyle M_{X}}$ és ${\displaystyle M_{Y}}$ momentumgeneráló függvényekkel. Ha van egy ${\displaystyle \varepsilon >0}$, hogy ${\displaystyle M_{X}(s),M_{Y}(s)<\infty }$ minden ${\displaystyle s\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ esetén, akkor ${\displaystyle P_{X}=P_{Y}}$ akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle M_{X}(s)=M_{Y}(s)}$ minden ${\displaystyle s\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ helyen.

Példák

Több eloszlásnak ismert a momentumgeneráló függvénye:

Eloszlás	Momentumgeneráló függvény, MX(t)
Bernoulli-eloszlás ${\displaystyle \mathrm {B} (p)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=1-p+pe^{t}}$
Béta-eloszlás ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b,p,q)}$[3]	${\displaystyle M_{X}(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {a+k}{a+b+k}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}}$
Binomiális eloszlás ${\displaystyle \mathrm {B} (p,n)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=(1-p+pe^{t})^{n}}$
Cauchy-eloszlás	Nincs momentumgeráló függvény.[4]
Khi-négyzet-eloszlás ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$[5]	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {1}{(1-2t)^{n/2}}}}$
Erlang-eloszlás ${\displaystyle \mathrm {Erlang} (\lambda ,n)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{n}}$ ha ${\displaystyle t<\lambda }$
Exponenciális eloszlás ${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )}$	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$ ha ${\displaystyle t<\lambda }$
Gamma-eloszlás ${\displaystyle \gamma (p,b)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {b}{b-t}}\right)^{p}}$
Geometriai eloszlás a ${\displaystyle p}$ paraméterrel	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}$
Egyenletes eloszlás a ${\displaystyle [0,a]}$ intervallumon	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{ta}-1}{ta}}}$
Laplace-eloszlás a ${\displaystyle \mu ,\sigma }$ paraméterekkel[6]	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{\mu t}}{1-\sigma ^{2}t^{2}}}}$
Negatív binomiális eloszlás ${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}}$ ha ${\displaystyle t<|\ln(1-p)|}$
Normális eloszlás ${\displaystyle \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}}$
Poisson-eloszlás a ${\displaystyle \lambda }$ paraméterrel	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp(\lambda (e^{t}-1))}$

Többdimenziós valószínűségi változó

A momentumgeneráló függvény általánosítható ${\displaystyle \ell }$ dimenziós valós valószínűségi vektorváltozóra. Legyen ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })}$, ekkor

${\displaystyle M_{\mathbf {X} }(t)=M_{\mathbf {X} }(t_{1},\dots ,t_{l})=\operatorname {E} (e^{\langle t,\mathbf {X} \rangle })=\operatorname {E} \left(\prod _{j=1}^{\ell }e^{t_{j}X_{j}}\right)}$,

ahol ${\displaystyle \langle t,\mathbf {X} \rangle =\sum \limits _{j=1}^{\ell }t_{j}X_{j}}$ a skaláris szorzás.