Area

In geometria, area^[1] es le quantitate physic que exprime le dimension de un parte de un superficie o un plano. Es le analogo bidimensional de longitude de systemas monodimensional, e de volumine de systemas tridimensional. Pro un superficie bidimensional, on pote imaginar se que le area es le quantitate de material de un spissitate constante que es requirite de coperir ille superficie.

Area
subclasse de: definite integral[*], grandor physic, ISQ derived quantity[*], scalar[*], area[*], geometric measure[*]
precedite per: longitude , succedite per: volumine
Commons: Area

Pro le majoritate de formas geometric, connexe ha un o plus formulas existente. Per combinar iste formulas, on pote derivar le area de qualcunque polygono; per exemplo, per le triangulation del polygono. Pro formas con limites que curva, on pote usar calculo pro computar le area. Le necessitate de determinar le area de figuras planar esseva un impeto pro le disveloppamento del calculo.

Pro formas tridimensional, como un sphera o un cono, le area de su limite es nominate le area del superficie. Formulas pro le areas del superficie de formas simple esseva computate per Grecia antique. Hodie, iste methodos ha essite expandite con calculo multivariabile, que pote calcular le area de formas complexe.

In mathematica moderne, area prende un rolo importante. Extra su importantia in calculo e geometria, le definition de area es connexe al definition del determinante in algebra linear, e es un characteristica basic de superficies in geometria differential. In analyse, le area de un subinsimul de un plan se defini con le mesura de Lebesgue (ben que se debe notar que illo non pote mesurar cata subinsimul del plan). Additionalmente, on pote definir le area como un caso special de volumine pro regiones bidimensional.

Historia

Un depiction del methodo de Archimedes. Le area del triangulo es un calculation facile. Como le numero de triangulos se cresca a infinitate, le dimension del error falle a zero.

Le idea que on pote describer le area de un figura con un valor abstracte es un idea ancian. In le seculo 19 aEC, le egyptianos antique habeva formulas pro calcular le area del triangulo, rectangulo, e circulo (usante ${\displaystyle {\frac {256}{81}}}$ como su approximation de pi). Secundo Herodoto, le egyptianos lo usava pro agrimesura, pro refacer parcellas de terra post que le inundation annual del Nilo^[2].

In le seculo 5 aEC, le greco Antiphon proponeva un algorithmo pro calcular le area de un polygono como le summation de un serie de areas triangular. Con Bryson de Heraclea e iste algoritho de derivar le area de un polygono, ille approximava un limite basse pro le area de un circulo; ille inscribeva un polygono in un circulo, calculava le area, e postea duplicava le numero de lateres. Iste "methodo de exhaustion" esseva usate per Eudoxo de Cnido in le seculo 4 aEC pro crear un formula pro le area de un circulo. Con isto, Archimedes poteva approximar pi in le seculo 3 aEC); antea in le mesme seculo, Euclid usava le methodo de exhaustion pro discoperir characteristicas de conos, circulos, spheras, tetrahedros, e cylindros in su Elementos.

In le seculo 9, al-Khwarizmi scribeva un libro sur algebra e geometria. Su libro, le Libro Compendiose de Calculation per Completion e Balanciamento (traducite le seculo 12 al latino como Liber Algebrae et Almucabola), non solmente dava su nomine al algebra, ma etiam introduceva conceptos importante concernente le notion del area. In illo, ille introduceva le quadrato unitari, un unitate de area definite como un construction mathematic sin representation physic^[3].

Le expansion del methodo de exhaustion al calculo initiava in le seculo 14. Le mathematico indian Madhava scribeva le Yuktibhasa, le prime texto que nos pote recognoscer como calculo moderne, in que ille describeva area como le integration del formula de un curva. Le Principia Mathematica per Newton e le obras de Leibniz in le seculo 17 finalisava le integral como es inseniate hodie.

Unitates de area

Le area de un circulo es su radio quadrate multiplicate per π

Articulo principal: Unitate de area

Le unitate de area SI es le metro quadrate (m²)^[4]. Es considerate un unitate derivate.

Cata unitate de longitude es le base de un unitate de area correspondente. Algebraicamente, iste pote esser describite como le quadrato del unitate de longitude basse. Ergo, on pote mensuar areas non solmente in metros quadrate, ma etiam in centimetros quadrate (cm²), millimetros quadrate (mm²), kilometros quadrate (km²), pedes quadrate (ft²), pollices quadrate (in²), yardes quadrate (y²), e millias quadrate (mi²).

Altere unitates de area commun include le ar (100m²), le hectar (100ar, o 10000m²), e le acre (4840 y²). Iste tres unitates es usate casi solmente pro mesurar terra.

Approximation de areas irregular

Le areas de formas irregular pote esser approximate per facer un serie de approximation, in que le area del forma irregular F (le linea nigre) es plus que un area internal (le area azur, n_i) e le area external (le area verde, n_e): ergo, n_i ≤ F ≤ n_e. Quando le exactitude de n_i e n_e se meliora, le extension inter n_i e n_e diminue, usque infinitate.

Eventualmente esseva condensate rigorosemente como calculo, le branca del mathematica que tracta de areas e lineas.

Lista de formulas

Infra se trova un lista de formulas pro formas commun. Ben que on pote dicer que existe un infinitate de formulas pro formulas irregular, le majoritate de iste formulas es componite de combinationes de iste.

In le formulas que seque:

• d = diametro
• h = altitude
• l = longitude
• r = radio
• s = longitude de un latere
• w = largor
• bh = base multiplicate per altitude

Formulas commun pro area:

Forma	Formula	Variabiles
Triangulo equilateral Triangulo regular	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!}$
Triangulo	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s}$ es un medie del perimetro ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ es le longitude de cata latere.
Triangulo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ es duo lateres qualcunque ${\displaystyle C}$ es le angulo inter le duo lateres.
Triangulo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh\,\!}$	${\displaystyle b}$ es le base ${\displaystyle h}$ es le altitude como mesurate per un linea perpendicular al base.
Quadrato	${\displaystyle s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ es le longitude de qualcunque latere del quadrato.
Rectangulo	${\displaystyle lw\,\!}$	${\displaystyle l}$ e ${\displaystyle w}$ es le longitudes del lateres del rectangulo (longitude e largessa).
Rhombo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ es le longitudes del lateres del duo diagonales del rhombo.
Parallelogramma	${\displaystyle bh\,\!}$	${\displaystyle b}$ es le longitude del base ${\displaystyle h}$ es le altitude perpendicular.
Trapezio	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ es le lateres parallel, e ${\displaystyle h}$ es le distantia inter le paralleles.
Hexagono regular	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ es le longitude de qualcunque latere del hexagono.
Octagono regular	${\displaystyle 2\left(1+{\sqrt {2}}\right)s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ es le longitude de qualcunque latere del octagono.
Polygono regular	${\displaystyle {\frac {ns^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!}$	${\displaystyle s}$ es le logitude del latere ${\displaystyle n}$ es le numero de lateres.
	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap\,\!}$	${\displaystyle a}$ es le apothemo, o le radio de un circulo inscribite in le polygono. ${\displaystyle p}$ es le perimetro del polygono.
Circulo	${\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{o}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!}$	${\displaystyle r}$ es le radio. d es le diametro.
Sector circular	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!}$	${\displaystyle r}$ es le radio. ${\displaystyle \theta }$ es le angulo (mesurate in radianos).
Ellipse	${\displaystyle \pi ab\,\!}$	${\displaystyle a}$ es le axe semimajor. .${\displaystyle b}$ es le axe semiminor.
Area del superficie de un cylindro	${\displaystyle 2\pi r(r+h)\,\!}$	${\displaystyle r}$ es le radio. ${\displaystyle h}$ es le altitude.
Area del superficie de un latere de un cylindro	${\displaystyle 2\pi rh\,\!}$	${\displaystyle r}$ es le radio. ${\displaystyle h}$ es le altitude.
Area del superficie de un cono	${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$	${\displaystyle r}$ es le radio. ${\displaystyle l}$ es le altitude del inclination.
Area lateral del superficie de un cono	${\displaystyle \pi rl\,\!}$	${\displaystyle r}$ es le radio. ${\displaystyle l}$ es le altitude del inclination.
Area del superficie de un sphera	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{o}}\ \pi d^{2}\,\!}$	${\displaystyle r}$ es le radio. d es le diametro.
Area del superficie de un Pyramide	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$	B es le area del base. ${\displaystyle P}$ es le perimetro del base. ${\displaystyle L}$ es le altitude del inclination.
Conversion del area quadrate al circular	${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}A\,\!}$	${\displaystyle A}$ es le area del quadrato, in unitates quadrate.
Conversion del area circular al quadrate	${\displaystyle {\frac {1}{4}}C\pi \,\!}$	${\displaystyle C}$ es le area del circulo in unitates circular.

Vide etiam

• Integration
• Perimetro
• Unitate de area
• Volumine

Ligamines externe

• (anglese) Weisstein, Eric W. Area. Mathworld: 2011.

Referentias

1. Derivation (in ordine alphabetic): (ca) Àrea || (de) Flächeninhalt || (en) Area || (es) Área || (fr) Aire (géométrie) || (it) Area || (pt) Área || (ro) Arie || (ru) Площадь
2. (latino) Herodoto, Historias, libro 2.
3. (anglese) Rosen, Frederic (traductor). The Algebra of Mohammed ben Musa. pg. 70.
4. (francese) Bureau International des Poids et Mesures. [http://www.bipm.org/fr/CGPM/db/11/12/ Résolution 12 de la 11e réunion de la CGPM (1960) ]. 1960.