Aljabar elementer

Aljabar elementer atau aljabar dasar adalah bentuk mendasar (fundamental) dan dasar dari aljabar, yang diajarkan kepada murid yang dianggap sedikit atau tidak memiliki pengetahuan tentang matematika yang lebih jauh daripada aritmetika (berhitung). Bila dalam aritmetika hanya bilangan dan operasi aritmetika (seperti +, -, ×, ÷) yang ditemukan, dalam aljabar kita juga menggunakan simbol (seperti x dan y, atau a dan b) untuk mewakili bilangan. Simbol seperti ini disebut sebagai variabel atau peubah. Penggunaan simbol seperti ini berguna karena:

• Memungkinkan perampatan (generalisasi) persamaan dan pertidaksamaan aritmetika untuk dinyatakan sebagai hukum (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan karena itu merupakan langkah pertama untuk studi sistematis terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
• Memungkinkan merujuk kepada bilangan yang tidak diketahui. Dalam konteks suatu masalah, variabel mungkin mewakili suatu nilai yang belum diketahui, tetapi dapat ditemukan lewat perumusan dan manipulasi persamaan matematika
• Memungkinkan penjelajahan hubungan matematika antara besaran-besaran (misalnya, "bila kamu menjual x karcis, keuntunganmu adalah 3x − 1000 rupiah").

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}$

Rumus kuadrat, yang merupakan solusi dari persamaan kuadrat ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ dimana ${\displaystyle a\neq 0}$. Di sini simbol a, b, c mewakili bilangan arbitrer, dan x adalah variabel yang mewakili solusi persamaan.

Plot dua dimensi (kurva merah) dari persamaan aljabar ${\displaystyle y=x^{2}-x-2}$

Contoh soal aljabar

Ketiganya adalah untaian utama dari aljabar elementer, yang mesti dibedakan dari aljabar abstrak, yang merupakan wilayah studi lebih lanjut.

Dalam aljabar elementer, sebuah "pernyataan matematika" boleh terdiri dari bilangan, variabel, dan operasi aritmetika. Ini biasanya ditulis dengan 'pangkat yang lebih tinggi' diletakkan di kiri; contohnya:

${\displaystyle x+3\,}$

${\displaystyle y^{2}+2x-3\,}$

${\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,}$

Dalam aljabar yang lebih lanjut, suatu pernyataan juga mungkin memiliki fungsi elementer.

Sebuah "persamaan" adalah klaim bahwa dua pernyataan adalah sama. Sebagian persamaan berlaku untuk semua nilai variabel (seperti a + b = b + a). Persamaan seperti ini dinamakan "identitas". Persamaan "bersyarat" berlaku hanya untuk sebagian nilai variabel yang mungkin: x² − 1 = 4. Nilai-nilai variabel yang membuat persamaan tersebut berlaku disebut pemecahan atau "solusi" persamaan.

Penemu Aljabar

Diophantus

Diophantus menjadi penemu cabang ilmu aljabar yang berasal dari Alexandria, saat itu ilmu ini sudah dikembangkan sejak zaman Babilonia Kuno. Orang-orang masyarakat tersebut sudah melakukan pengembangan terhadap persamaan kuadrat, persamaan linier dan persamaan linier tidak menentu, Diophantus menulis sebuah buku yang berisi suatu pemecahan aljabar.

Selain itu Diophantus juga disebut sebagai Bapak Aljabar karena memberi ilmu pengetahuan mengenai teori bilangan, notasi matematika dan aljabar yang dapat diidentifikasi lewat teori persamaan. Sistem ilmu ini yang diciptakan Diophantus tidak memakai simbol dan dikenal dengan sebutan syncopate.

Al-Khawarizmi

Lahir sekitar 780 masehi, Al-Khawarizmi merupakan seorang yang sangat suka dalam ilmu matematika. Bernama lengkap Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, lahir di Bukhara dan lama tinggal di Khawarizmi. Di masa kepemimpinan Al-Ma’mun saat itu perkembangan ilmu pengetahuan sedang ada di puncak-puncaknya atau berada di puncak kejayaan.

Al-Khawarizmi termasuk peneliti yang menemukan aljabar, ditandai adanya perpustakan besar dan pusat penelitian ilmu pengetahuan yang dibuat Harun Al-Rasyid. Al-Khawarizmi dikenal banyak orang Eropa sebagai Algorizm atau kini diketahui dengan julukan konsep algoritma. Konsep algoritma sudah dipakai dalam berbagai jenis ilmu pengetahuan, berkaitan komputer dan engineering.

Unsur Aljabar

Rumus Persamaan

Rumus aljabar persamaan diketahui sebagai salah satu teknik dalam ilmu matematika dan biasanya dipakai untuk menyamakan suatu permasalahan ke dalam bentuk matematika. Yang paling sederhana dan kompleks, artinya persamaan yang ada berfungsi sebagai pembentuk sebuah rumus matematika sesuai dengan masalah.

Variabel

Merupakan sebuah simbol yang berupa huruf, fungsinya adalah untuk pengganti suatu nilai yang sifatnya tidak tetap atau dapat berubah-ubah. Sifat yang bisa berubah ini tergantung pada persamaan yang memuat, sehingga variabel itu sendiri juga disebut sebagai perubah. Simbol huruf pada variabel biasanya seperti a, A, b, B, c, C, untuk simbol x, X, y, Y, z, Z.

Koefisien

Apabila variabel adalah simbol dari suatu nilai, sehingga berbeda dengan koefisien yang memiliki arti sebagai nilai dengan fungsi untuk mengalikan suatu variabel. Secara umum, koefisien hanya memiliki nilai satu dan tidak akan ditulis, termasuk halnya dalam penggunaan kalkulator aljabar.

Konstanta

Yang dimaksud dengan konstanta adalah nilai dalam bentuk aljabar yang sifatnya tidak berubah-ubah atau tetap. Ciri konstanta tidak berhubungan dengan variabel, kemudian dalam beberapa rumus diketahui juga konstanta dapat disimbolkan menggunakan huruf. Dan bisa menggunakan simbol khusus.

Pangkat

Pangkat disebut juga eksponen merupakan variabel yang berada di dalam bentuk aljabar yang bentuknya pangkat. Dalam operasi perhitungan, pangkat mendapat prioritas kedua yang sejajar dengan operasi hitung setelah tanda kurung yang berada di dalam operasi hitung.

Derajat atau pangkat

Derajat merupakan nilai pangkat yang ada dan paling tinggi dalam sebuah variabel berbentuk aljabar, pemahaman secara seksama dapat menjelaskan bagaimana cara kerja dan sifat dari derajat dalam sebuah variabel berbentuk aljabar dan turunan fungsi aljabar.

Suku

Yang dimaksud dengan suku adalah suatu total dari seluruh elemen yang terdapat dalam bentuk aljabar. Suku biasanya dipakai atau digunakan sebagai cara agar bentuk aljabar bisa dibahasakan dengan mudah, biasanya sudah termasuk dalam suatu kalkulator aljabar adalah pemecah soal-soal aljabar.

Bentuk Aljabar

Jika dilihat dari penerapan, bentuk ilmu ini ada beberapa dan setiap bentuknya dipastikan terdiri dari nilai tetap (konstanta) dan nilai peubah (variabel). Bentuk aljabar yang dapat digunakan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan yang dapat dipahami lebih lanjut lewat contoh seperti 3b, 4x+3, 6y-2 dan lain sebagainya.

Operasi aljabar

Operasi aljabar dalam penyelesaian persamaan kuadrat. Tanda akar, √ menunjukkan akar kuadrat, sama dengan eksponen pangkat ½. tanda ± berarti persamaan dapat ditulis dengan a + atau dengan tanda -.

Dalam matematika, operasi aljabar dasar adalah salah satu dari operasi aritmetika yang umum, yang mencakup penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, menaikkan menjadi bilangan bulat pangkat, dan mengambil akar (pangkat pecahan).^[1][2] Operasi ini dapat dilakukan pada bilangan, dalam hal ini sering disebut operasi aritmetika. Mereka juga dapat dilakukan, dengan cara yang sama, pada variabel, ekspresi aljabar,^[3] dan lebih umum lagi, pada elemen struktur aljabar, seperti grup dan bidang.^[4] Operasi aljabar juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari pangkat Kartesius dari himpunan ke himpunan yang sama.^[5]

Istilah operasi aljabar juga dapat digunakan untuk operasi yang dapat didefinisikan dengan menggabungkan operasi aljabar dasar, seperti perkalian titik. Dalam kalkulus dan analisis matematika, operasi aljabar juga digunakan untuk operasi yang dapat ditentukan dengan murni metode aljabar. Misalnya, eksponen dengan eksponen bilangan bulat atau rasional adalah operasi aljabar, tetapi bukan eksponen umum dengan eksponen riil atau kompleks. Selain itu, turunan adalah operasi yang tidak bersifat aljabar.

Aritmetika

Tabel aritmatika untuk anak-anak, Lausanne, 1835

Aritmetika (dulu disebut ilmu hitung adalah bagian dasar matematika yang mempelajari operasi bilangan seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Dalam pengertian yang lebih luas, aritmetika juga mencakup eksponensiasi, akar bilangan, dan logaritma.

Operasi aritmetika menjadi dasar dari banyak bagian matematika, seperti aljabar, kalkulus, dan statistik. Aritmetika memainkan peran yang sama dalam ilmu pengetahuan, seperti fisika dan ekonomi. Aritmetika hadir dalam banyak aspek kehidupan sehari-hari, misalnya, untuk menghitung uang kembalian saat berbelanja atau mengelola keuangan pribadi. Aritmetika adalah salah satu bentuk pendidikan matematika paling awal yang dipelajari oleh siswa.

Perbedaan Antara Aritmatika dan Aljabar

Aljabar adalah cabang matematika di mana siswa biasanya menggunakan simbol, huruf alfabet untuk mendapatkan solusi dari soal yang diberikan. Berbicara tentang sejarahnya, aljabar dapat dibagi menjadi tiga bagian. Bagian pertama adalah tahap tertulis di mana hanya kata-kata yang digunakan, bagian kedua mencakup tahap yang dipersingkat atau sinkopasi di mana simbol muncul dalam persamaan. Bagian ketiga adalah tahap modern atau simbolik. Selain itu, Aljabar ditemukan pada abad kesembilan oleh seorang matematikawan Persia, Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi. Ia juga mengembangkan metode cepat untuk mengalikan dan membagi angka, yang dikenal sebagai algoritma. Studi aljabar berarti matematikawan memecahkan persamaan dan sistem linear, serta solusi kuadrat.

Aritmatika adalah ilmu yang mempelajari angka, operasi dengan angka (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian), dan sifat dasar dari operasi tersebut. Ilmu ini membentuk keterampilan matematika dasar, seperti berhitung, menghitung, dan bekerja dengan bilangan bulat, pecahan, dan desimal.

Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari variabel, persamaan, fungsi, dan hubungan di antara variabel tersebut. Penalaran aljabar melibatkan penggunaan simbol, seperti huruf, untuk mewakili kuantitas yang tidak diketahui atau variabel dan memanipulasinya sesuai dengan seperangkat aturan dan prinsip.

Singkatnya, aritmatika mempelajari angka dan operasi dasar, sedangkan aljabar berfokus pada studi variabel dan persamaan.

Aritmatika – Angka dan Operasi

Aritmatika adalah salah satu dari beberapa mata pelajaran pertama yang pelajari di kelas dasar. Aritmatika berhubungan dengan angka dan operasi dasar pada angka tersebut. Aritmatika merupakan dasar untuk mempelajari cabang matematika lainnya. Aritmatika berasal dari kata Yunani arithmos, yang merupakan cabang matematika yang terdiri dari studi penghitungan angka dan sifat-sifat operasi tradisional pada angka-angka tersebut seperti penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (x), dan pembagian (). Aritmatika merupakan bagian dasar dari teori bilangan. Selain operasi dasar, subjek ini juga mencakup operasi yang lebih maju, seperti persentase, akar kuadrat, eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri , dan masih banyak lagi.

Empat operasi dasar yakni penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian secara umum disebut sebagai empat operasi aritmatika. Empat sifat utama operasi adalah:

• Sifat Komutatif
• Sifat Asosiatif
• Properti Distributif
• Identitas Aditif

Aturan untuk operasi yang melibatkan +, −, ×, dan ÷. Urutan operasinya adalah:

• B:- Tanda kurung
• O: -Order
• D: -Pembagian
• M:- Perkalian
• A: -Penambahan
• S: -Pengurangan

Aljabar

Aljabar merupakan salah satu cabang Matematika yang membahas variabel dan angka. Gabungan konstanta dan variabel yang dihubungkan dengan tanda operasi dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian disebut ekspresi aljabar. Berbagai bagian dari ekspresi aljabar yang dipisahkan oleh tanda + atau - disebut suku-suku ekspresi. Ekspresi aljabar didefinisikan sebagai penjumlahan, selisih, perkalian, atau hasil bagi konstanta dan variabel.

Contoh, 12x + 50 Di sini ekspresi ini disebut ekspresi aljabar di mana x bervariasi nilainya sehingga merupakan variabel dan 50 adalah konstanta. 12x dan 50 adalah suku-suku dan keduanya dipisahkan oleh tanda +. Kita dapat menulis apa saja a, b, c ….z sebagai pengganti variabel.

Aljabar terdiri dari berbagai metode untuk memecahkan sepasang persamaan linear:

1. Metode eliminasi
2. Metode Substitusi
3. Metode perkalian silang

Orang Babilonia lah yang menemukan Aljabar pada tahun 1900 SM. Penggunaan tanda penjumlahan (+) dan pengurangan (-) terbukti bermanfaat dalam mengerjakan persamaan aljabar. Sebelumnya, orang menggunakan kata-kata tertulis untuk menyatakan fungsi penjumlahan dan pengurangan yang merupakan proses yang memakan waktu. Aritmatika adalah sesuatu yang selalu ada di sekitar. Coba lihat nampan es dan ambil dua es batu dari dalamnya, berapa jumlah total yang tersisa? Untuk menemukan jawabannya, kita harus mengurangi jumlah total slot es batu dengan 2. Sejarah matematika sudah ada sejak lama, tetapi sebagian besar simbol matematika baru ditemukan pada abad ke-16 karena persamaan sudah ditulis dalam kata-kata sebelumnya. Dua alat geometri terpenting yang dianggap ampuh karena membantu kemajuan dan konstruksi subjek adalah penggaris dan kompas.

Notasi aljabar

Artikel utama: Notasi matematika

Notasi aljabar menjelaskan aturan dan ketentuan penulisan ekspresi matematika, serta terminologi yang digunakan untuk membicarakan bagian-bagian ekspresi. Misalnya ekspresi ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ memiliki komponen berikut:

Notasi ekspresi aljabar:

1. Eksponen (pangkat)
2. Koefisien
3. Suku
4. operator
5. konstanta, x, y : variabel

Bentuk aljabar ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c,}$ terdiri dari tiga suku disebut Trinomial (suku tiga). Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku disebut Binomial (suku dua), Bentuk aljabar yang terdiri dari satu suku disebut Monomial (suku satu), Sedangkan bentuk Aljabar yang lebih dari tiga suku disebut Polinomial (suku banyak). Dalam bentuk aljabar juga dikenal istilah suku sejenis dan tidak sejenis

Koefisien adalah nilai numerik, atau huruf yang mewakili konstanta numerik, yang mengalikan variabel (operator dihilangkan). A term adalah adend atau penjumlahan, grup koefisien, variabel, konstanta, dan eksponen yang dapat dipisahkan dari suku lain dengan plus dan minus.^[6] Huruf mewakili variabel dan konstanta. Sesuai ketentuan, huruf di awal alfabet (yaitu ${\displaystyle a,b,c}$) biasanya digunakan untuk mewakili konstanta, dan yang mendekati akhir alfabet (misalnya ${\displaystyle x,y}$ dan z) digunakan untuk mewakili variabel .^[7] Biasanya ditulis miring.^[8]

Operasi aljabar bekerja dengan cara yang sama seperti operasi aritmetika,^[9] seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensiasi.^[10] dan diterapkan pada variabel dan suku aljabar. Simbol perkalian biasanya dihilangkan, dan diterapkan ketika tidak ada ruang antara dua variabel atau suku, atau ketika koefisien digunakan. Misalnya, ${\displaystyle 3\times x^{2}}$ ditulis sebagai ${\displaystyle 3x^{2}}$, dan ${\displaystyle 2\times x\times y}$ ditulis ${\displaystyle 2xy}$.^[11]

Biasanya suku dengan pangkat tertinggi (eksponen), ditulis di sebelah kiri, misalnya, ${\displaystyle x^{2}}$ ditulis di sebelah kiri x. Ketika koefisien adalah satu, biasanya dihilangkan (misalnya ${\displaystyle 1x^{2}}$ is written ${\displaystyle x^{2}}$).^[12] Begitu juga saat eksponen (pangkat) adalah satu, (misalnya ${\displaystyle 3x^{1}}$ ditulis ${\displaystyle 3x}$).^[13] Jika eksponennya nol, hasilnya selalu 1 (misalnya ${\displaystyle x^{0}}$ selalu ditulis ulang menjadi 1).^[14] Namun ${\displaystyle 0^{0}}$, karena tidak terdefinisi, seharusnya tidak muncul dalam ekspresi, dan perhatian harus diberikan dalam menyederhanakan ekspresi di mana variabel mungkin muncul dalam eksponen.

Notasi alternatif

Jenis notasi lain digunakan dalam ekspresi aljabar ketika pemformatan yang diperlukan tidak tersedia, atau tidak dapat tersirat, seperti di mana hanya huruf dan simbol variabel. Sebagai ilustrasi, eksponen biasanya diformat menggunakan superskrip, misalnya ${\displaystyle x^{2}}$, dalam teks biasa, dan dalam bahasa markup TeX, simbol tanda sisipan "^" mewakili eksponensiasi, jadi ${\displaystyle x^{2}}$ ditulis sebagai "x^2".,^[15][16] serta beberapa bahasa pemrograman seperti Lua. Dalam bahasa pemrograman seperti Ada,^[17] Fortran,^[18] Perl,^[19] Python ^[20] and Ruby,^[21] tanda bintang ganda digunakan, jadi ${\displaystyle x^{2}}$ ditulis sebagai "x**2". Banyak bahasa pemrograman dan kalkulator menggunakan tanda bintang tunggal untuk mewakili simbol perkalian,^[22] dan itu harus digunakan secara eksplisit, misalnya, ${\displaystyle 3x}$ ditulis "3*x".

Konsep

Variabel

Contoh variabel yang menunjukkan relasi antara diameter lingkaran dan kelilingnya. Untuk setiap keliling lingkaran c, dibagi dengan diameter d, sama dengan konstanta pi, ${\displaystyle \pi }$ (sekitar 3,14).

Artikel utama: Variabel (matematika)

Aljabar elementer dalam aritmetika^[23] dengan memasukkan huruf yang disebut variabel untuk mewakili angka umum (tidak ditentukan). Ini berguna karena beberapa alasan.

1. Variabel mungkin mewakili angka yang nilainya belum diketahui. Misalnya, jika suhu hari ini, 20 derajat lebih tinggi dari suhu hari sebelumnya, maka P dari soal tersebut dapat dijelaskan secara aljabar sebagai ${\displaystyle C=P+20}$.^[24]
2. Variabel memungkinkan seseorang untuk menggambarkan masalah umum,^[25] tanpa menentukan nilai kuantitas yang terlibat. Misalnya, dapat dinyatakan secara spesifik bahwa 5 menit sama dengan ${\displaystyle 60\times 5=300}$ detik. Deskripsi yang lebih umum (aljabar) mungkin menyatakan bahwa jumlah detik, ${\displaystyle s=60\times m}$, dimana m adalah jumlah menit.
3. Variabel memungkinkan untuk mendeskripsikan hubungan matematis antara besaran yang mungkin berbeda.^[26] Misalnya, hubungan antara keliling, c, dan diameter, d, dari sebuah lingkaran dijelaskan oleh ${\displaystyle \pi =c/d}$.
4. Variabel memungkinkan untuk mendeskripsikan beberapa properti matematika. Misalnya, sifat dasar penjumlahan adalah komutativitas yang menyatakan bahwa urutan bilangan yang dijumlahkan tidak menjadi masalah. Komutatifitas dinyatakan secara aljabar sebagai ${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$.^[27]

Menyederhanakan ekspresi

Artikel utama: Ekspresi (matematika) dan Aljabar komputer § Penyederhanaan

Ekspresi aljabar dapat dievaluasi dan disederhanakan, berdasarkan sifat dasar operasi aritmetika (penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensiasi). Sebagai contoh,

• Suku ditambahkan dan disederhanakan menggunakan koefisien. Misalnya, ${\displaystyle x+x+x}$ dapat disederhanakan menjadi ${\displaystyle 3x}$ (dengan 3 adalah koefisien numerik).
• Suku yang dikalikan disederhanakan menggunakan eksponen. Sebagai contoh, ${\displaystyle x\times x\times x}$ direpresentasikan sebagai ${\displaystyle x^{3}}$
• Seperti istilah ditambahkan,^[28] sebagai contoh, ${\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$ ditulis sebagai ${\displaystyle x^{2}+4ab}$, karena istilah yang mengandung ${\displaystyle x^{2}}$, dan istilah yang mengandung ${\displaystyle ab}$.
• Tanda kurung dapat "dikalikan", menggunakan sifat distributif. Misalnya, ${\displaystyle x(2x+3)}$ dapat ditulis sebagai ${\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}$ ditulis sebagai ${\displaystyle 2x^{2}+3x}$
• Ekspresi dapat difaktorkan. Misalnya, ${\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$, dengan membagi kedua suku dengan ${\displaystyle 3x^{2}}$ dapat ditulis sebagai ${\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

Persamaan

Animasi yang menggambarkan kaidah Pythagoras untuk segitiga siku-siku, yang menunjukkan hubungan aljabar antara sisi miring segitiga, dan dua sisi lainnya.

Artikel utama: Persamaan

Sebuah persamaan menyatakan bahwa dua ekspresi sama dengan menggunakan simbol persamaan, = (tanda sama dengan).^[29] Salah satu persamaan paling terkenal menjelaskan hukum Pythagoras yang berkaitan dengan panjang sisi segitiga sudut siku-siku:^[30]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Persamaan ini digunakan bahwa ${\displaystyle c^{2}}$, merepresentasikan kuadrat dari panjang sisi yang merupakan sisi miring, sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku, sama dengan jumlah (penambahan) kuadrat dari dua sisi lainnya yang panjangnya diwakili oleh a dan b.

Persamaan adalah dua ekspresi memiliki nilai yang sama dan sama. Beberapa persamaan benar untuk semua nilai variabel yang terlibat (seperti ${\displaystyle a+b=b+a}$); persamaan disebut identitas. Persamaan kondisional benar hanya untuk beberapa nilai dari variabel yang terlibat, misalnya ${\displaystyle x^{2}-1=8}$ hanya benar untuk ${\displaystyle x=3}$ and ${\displaystyle x=-3}$. Nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar adalah solusi dari persamaan dan dapat ditemukan melalui pemecah persamaan.

Jenis persamaan lainnya adalah pertidaksamaan. Pertidaksamaan digunakan untuk menunjukkan bahwa satu sisi persamaan lebih besar, atau lebih kecil, dari sisi lainnya. Simbol yang digunakan untuk ini adalah: ${\displaystyle a>b}$ di mana ${\displaystyle >}$ mewakili 'lebih besar dari', dan ${\displaystyle a<b}$ dimana ${\displaystyle <}$ mewakili 'kurang dari'. Sama seperti persamaan persamaan standar, angka dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan atau dibagi. Satu-satunya pengecualian adalah saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, simbol pertidaksamaan harus dibalik.

Substitusi

Artikel utama: Substitusi (aljabar)

Lihat pula: Substitusi (logika)

Substitusi menggantikan suku-suku dalam suatu ekspresi untuk membuat ekspresi baru. Mengganti 3 untuk a dalam ekspresi tersebut a*5 membuat ekspresi baru 3*5 dengan arti 15. Mengganti istilah pernyataan membuat pernyataan baru. Jika pernyataan asli benar secara independen dari nilai istilah, pernyataan yang dibuat oleh substitusi juga benar. Oleh karena itu, definisi dapat dibuat dalam istilah simbolik dan ditafsirkan melalui substitusi: jika ${\displaystyle a^{2}:=a\times a}$ dimaksudkan sebagai definisi dari ${\displaystyle a^{2},}$ karena produk dari a dengan dirinya sendiri, menggantikan 3 untuk a menginformasikan kepada pembaca pernyataan ini bahwa ${\displaystyle 3^{2}}$ sebagai 3 × 3 = 9. Seringkali tidak diketahui apakah pernyataan itu benar terlepas dari nilai istilah. Dan, substitusi memungkinkan untuk mendapatkan batasan pada nilai yang mungkin, atau menunjukkan kondisi apa yang dipegang pernyataan itu. Misalnya, pernyataan x + 1 = 0, if x diganti dengan 1, ini menyiratkan 1 + 1 = 2 = 0, yang salah, yang menyiratkan bahwa jika x + 1 = 0 maka x tidak bisa menjadi 1.

Penyelesaian Persamaan

Penyelesaian persamaan melibatkan pencarian nilai variabel yang tidak diketahui dalam persamaan yang diberikan. Syarat bahwa kedua ekspresi tersebut sama dipenuhi oleh nilai variabel. Menyelesaikan persamaan linear dalam satu variabel menghasilkan solusi yang unik, sedangkan menyelesaikan persamaan linear yang melibatkan dua variabel menghasilkan dua hasil. Menyelesaikan persamaan kuadrat menghasilkan dua akar. Ada banyak metode dan prosedur yang diikuti dalam menyelesaikan persamaan.

Penyelesaian persamaan berarti menghitung nilai variabel yang tidak diketahui dengan tetap menyeimbangkan persamaan di kedua sisi. Persamaan adalah kondisi pada variabel sedemikian rupa sehingga dua ekspresi dalam variabel tersebut memiliki nilai yang sama. Nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut dikatakan sebagai solusi persamaan. Persamaan tetap sama jika sisi kiri dan sisi kanan dipertukarkan. Variabel yang nilainya akan dicari diisolasi dan solusinya diperoleh. Memecahkan persamaan bergantung pada jenis persamaan yang kita hadapi. Persamaan dapat berupa persamaan linier, persamaan kuadrat, persamaan rasional, atau persamaan radikal.

Langkah-Langkah dalam Penyelesaian Persamaan

Tujuan penyelesaian persamaan adalah untuk menemukan nilai variabel yang memenuhi syarat persamaan benar. Untuk mengisolasi variabel, operasi berikut dilakukan dengan tetap menyeimbangkan persamaan di kedua sisi. Dengan melakukan hal ini, sisi kiri tetap sama dengan sisi kanan, dan akhirnya, keseimbangan tetap tidak terganggu.

• Sifat penjumlahan persamaan : Tambahkan bilangan yang sama pada kedua sisi. Jika a = b, maka a + c = b + c
• Sifat pengurangan persamaan : Kurangi bilangan yang sama pada kedua ruas. Jika a = b, maka a - c = b - c
• Sifat perkalian persamaan: Kalikan bilangan yang sama pada kedua ruas. Jika a = b, maka ac = bc
• Sifat pembagian persamaan : Membagi dengan bilangan yang sama pada kedua ruas. Jika a = b, maka a/c = b/c (di mana c ≠ 0)

Setelah melakukan metode penyeimbangan sistematis untuk menyelesaikan persamaan melalui serangkaian operasi aritmatika yang identik pada kedua sisi persamaan, kita pisahkan variabel pada salah satu sisi dan langkah terakhir adalah penyelesaian persamaan.

Penyelesaian Persamaan Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel berbentuk ax + b = 0, di mana a, b, c adalah bilangan riil. Langkah-langkah berikut diikuti saat menyelesaikan persamaan yang linear.

• Hapus tanda kurung dan gunakan sifat distributif jika diperlukan.
• Sederhanakan kedua sisi persamaan dengan menggabungkan suku-suku yang serupa.
• Jika terdapat pecahan , kalikan kedua sisi persamaan dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari semua pecahan.
• Jika ada desimal , kalikan kedua sisi persamaan dengan pangkat 10 terendah untuk mengubahnya menjadi bilangan bulat.
• Pindahkan suku-suku variabel ke satu sisi persamaan dan suku-suku konstan ke sisi yang lain dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan persamaan.
• Jadikan koefisien variabel menjadi 1, dengan menggunakan sifat perkalian atau pembagian persamaan.
• mengisolasi variabel dan mendapatkan solusinya.

Perhatikan contoh berikut: ${\displaystyle 3(x+4)=24+x}$

Kami sederhanakan LHS menggunakan sifat distributif.

${\displaystyle 3x+12=24+x}$

Kelompokkan suku-suku yang sejenis menggunakan metode transposisi. Hasilnya adalah ${\displaystyle 3x-x=24-12}$

Sederhanakan lebih lanjut ⇒ ${\displaystyle 2x=12}$

Gunakan sifat pembagian persamaan, ${\displaystyle 2x/2=12/2}$

mengisolasi variabel x. ${\displaystyle x=6}$ adalah solusi persamaan.

Gunakan salah satu teknik berikut untuk menyederhanakan persamaan linear dan menyelesaikan variabel yang tidak diketahui. Metode coba-coba, metode penyeimbangan, dan metode transposisi digunakan untuk mengisolasi variabel.

Penyelesaian Persamaan dengan Metode Trial And Error

Perhatikan 12x = 60. Untuk menemukan x, kita secara intuitif mencoba mencari bahwa 12 kali angka berapa yang hasilnya 60. Kita menemukan bahwa 5 adalah angka yang dibutuhkan. Memecahkan persamaan dengan metode coba-coba tidak selalu mudah.

Penyelesaian Persamaan dengan Metode Penyeimbangan

Kita perlu mengisolasi variabel x untuk menyelesaikan persamaan. Mari kita gunakan metode pemisahan variabel atau metode penyeimbangan untuk menyelesaikannya. Perhatikan persamaan ${\displaystyle 2x+3=17}$.

Pertama-tama kita hilangkan angka 3 pada langkah pertama. Untuk menjaga keseimbangan saat menyelesaikan persamaan, kita kurangi angka 3 dari kedua sisi persamaan.

Jadi ${\displaystyle 2x+3-3=17-3}$

Kita punya ${\displaystyle 2x=14}$

Sekarang untuk mengisolasi x, kita bagi dengan 2 di kedua sisi. (Sifat pembagian persamaan)

${\displaystyle 2x/2=14/2}$

${\displaystyle x=7}$

Jadi, kita mengisolasi variabel menggunakan sifat-sifat kesetaraan saat memecahkan persamaan dalam metode penyeimbangan.

Penyelesaian Persamaan dengan Metode Transposisi

Saat menyelesaikan persamaan, kita mengubah sisi-sisi angka. Proses ini disebut transposisi. Saat mentransposisi angka, kita mengubah tandanya atau membalik operasinya. Perhatikan ${\displaystyle 5y+2=22}$

Kita perlu menemukan y, jadi pisahkan y. Oleh karena itu, kita pindahkan angka 2 ke sisi lainnya. Persamaannya menjadi,

${\displaystyle 5y=22-2}$

${\displaystyle 5y=20}$

Sekarang, dengan mengambil 5 ke sisi yang lain, kita membalikkan operasi perkalian menjadi pembagian. ${\displaystyle y=20/5=4}$

Persamaan linear dua variabel.

Persamaan linear merupakan salah satu konsep matematika terpenting yang digunakan dalam berbagai bidang lain dalam bidang teknik dan sains untuk memperoleh nilai berbagai parameter dan kuantitas. Ada banyak cara untuk menyelesaikan persamaan linear. Mari kita bahas cara-cara tersebut di blog ini.

Ada empat metode utama yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel :

• Metode grafik - Metode ini melibatkan pembuatan grafik kedua persamaan pada bidang kartesius. Titik perpotongan kedua garis merupakan solusi untuk sistem persamaan tersebut. Metode ini hanya berguna jika solusinya berupa bilangan bulat.
• Metode substitusi - Metode ini melibatkan penyelesaian satu persamaan linear dalam satu variabel dan kemudian mensubstitusikan nilai tersebut ke persamaan lain untuk menyelesaikan soal. Misalnya, untuk menyelesaikan sistem persamaan: ${\displaystyle x+y=10}$ dan ${\displaystyle x-y=5}$, pertama-tama kita selesaikan persamaan kedua untuk y, yaitu, ${\displaystyle y=x-5}$, lalu substitusikan nilai y ini dalam x ke persamaan pertama untuk memperoleh nilai ${\displaystyle x=7,5}$ , dan dengan demikian nilai ${\displaystyle y=2,5}$.
• Metode eliminasi - Dalam metode ini, kita mengeliminasi salah satu variabel untuk menemukan nilai variabel lainnya. Kemudian kita mengganti nilai variabel tersebut ke dalam salah satu persamaan yang diberikan untuk menemukan nilai variabel yang tersisa.
• Metode Matriks - Pada metode ini, kedua persamaan direpresentasikan ke dalam matrik berbentuk AX = B, di mana A merupakan matrik koefisien 2x2, X merupakan matrik variabel 2x1, dan B merupakan matrik solusi 2x1. Selanjutnya, kita selesaikan kedua persamaan tersebut dengan mencari invers matrik A.

Perbedaan metode eliminasi dan metode substitusi

Metode eliminasi

Saat menyelesaikan persamaan linear dengan dua atau tiga variabel, metode eliminasi sangat membantu. Menurut definisi metode eliminasi, metode ini melibatkan penghilangan salah satu suku yang mengandung salah satu variabel untuk mempermudah perhitungan. Hal ini dilakukan dengan mengalikan atau membagi angka dalam persamaan hingga kedua koefisien suku variabel sama. Kemudian, untuk menghilangkan atau menghilangkan suku tersebut dari hasil, kita tambahkan atau kurangi kedua persamaan. Metode eliminasi juga dikenal sebagai metode penjumlahan.

Metode Eliminasi adalah proses menghilangkan salah satu variabel dalam suatu sistem persamaan menggunakan penjumlahan atau pengurangan yang disertai perkalian atau pembagian dan menyelesaikan sistem persamaan. Dalam metode eliminasi, menambahkan atau mengurangi persamaan untuk mendapatkan persamaan dalam satu variabel. Awalnya salah satu atau dua persamaan dikalikan atau dibagi sehingga kedua koefiien variabel persamaan menjadi sama.

Bila tanda operator koefisien salah satu variabel berlawanan, Anda menambahkan persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut. Dan bila tanda operator koefisien salah satu variabel sama, Anda mengurangi persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut. Jadi bila kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkamn maka variabel terebut menjadi kosong tereliminai

Metode substitusi

Metode substitusi adalah cara untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan menyatakan persamaan tersebut hanya dalam satu variabel. Metode substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah cara untuk menyederhanakan sistem persamaan dengan menyatakan satu variabel dalam variabel lain, sehingga menghilangkan satu variabel dari persamaan.

Metode penyelesaian "dengan substitusi" bekerja dengan menyelesaikan salah satu persamaan (Anda memilih salah satunya) untuk salah satu variabel (Anda memilih salah satunya), lalu memasukkannya kembali ke persamaan lainnya, "mensubstitusi, tukar ganti" variabel yang dipilih dan menyelesaikan persamaan lainnya. Kemudian Anda menyelesaikan kembali variabel pertama.

Idenya di sini adalah memecahkan salah satu persamaan untuk salah satu variabel, dan memasukkannya ke persamaan lainnya. Tidak masalah persamaan atau variabel mana yang Anda pilih. Tidak ada pilihan yang benar atau salah; jawabannya akan tetap sama. Namun — beberapa pilihan mungkin lebih baik daripada yang lain

Persamaan Kuadrat

Ada persamaan yang menghasilkan lebih dari satu solusi. Polinomial kuadrat berderajat dua dan angka nol dari polinomial kuadrat mewakili persamaan kuadrat.

Perhatikan (x+3) (x+2)= 0. Sifatnya kuadrat. Kita tinggal menyamakan setiap ekspresi di sisi kiri dengan 0.

Entah x+3 = 0 atau x+2 =0.

Kita sampai pada x = -3 dan x = -2.

Persamaan kuadrat berbentuk ax2 ⁺ bx + c = 0. Memecahkan persamaan kuadrat akan menghasilkan dua akar : α dan β.

Langkah-langkah yang terlibat dalam menyelesaikan persamaan kuadrat adalah:

• Dengan Metode Melengkapi Kuadrat
• Dengan Metode Faktorisasi
• Dengan Metode Formula

Dengan Metode Melengkapi Kuadrat

Memecahkan persamaan kuadrat dengan metode melengkapi kuadrat cukup mudah karena kita menerapkan pengetahuan kita tentang identitas aljabar: (a+b) ²

• Tulis persamaan dalam bentuk standar ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$
• Bagilah kedua sisi persamaan dengan a.
• Pindahkan suku konstanta ke sisi lain
• Tambahkan kuadrat setengah koefisien x di kedua sisi.
• Lengkapi sisi kiri sebagai kuadrat dan sederhanakan sisi kanan.
• Ambil akar kuadrat pada kedua sisi dan selesaikan x.

Dengan Metode Faktorisasi

Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan metode faktorisasi , ikuti langkah-langkah yang dibahas di sini. Tulis persamaan yang diberikan dalam bentuk standar dan dengan membagi suku-suku di tengah, faktorkan persamaan tersebut. Tulis ulang persamaan yang diperoleh sebagai hasil perkalian dua faktor linier. Samakan setiap faktor linier dengan nol dan selesaikan untuk x. Perhatikan ${\displaystyle 2x^{2}+19x+30=0}$ Ini dalam bentuk standar ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$.

Pisahkan suku tengah sedemikian rupa sehingga hasil perkalian suku-suku tersebut harus sama dengan hasil perkalian koefisien ${\displaystyle x^{2}}$ dan c dan jumlah suku-suku tersebut harus b. Di sini hasil perkalian suku-suku tersebut harus 60 dan jumlahnya harus 19. Jadi, bagi 19x menjadi 4x dan 15x (karena jumlah 4 dan 15 adalah 19 dan hasil perkaliannya adalah 60).

${\displaystyle 2x^{2}+4x+15x+30=0}$

Keluarkan faktor persekutuan dari dua suku pertama, dan faktor persekutuan dari dua suku terakhir.

Rumus untuk mencari ${\displaystyle 2x(x+2)+15(x+2)=0}$

Memfaktorkan (x+2) lagi, kita memperoleh

${\displaystyle (x+2)(2x+15)=0}$

${\displaystyle x=-2}$ dan ${\displaystyle x=-15/2}$

Memecahkan persamaan kuadrat melibatkan langkah-langkah seperti membagi suku-suku tengah pada faktorisasi.

Dengan Metode Formula

Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan rumus

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

membantu kita menemukan akar persamaan kuadrat ax ² + bx + c = 0. Dengan memasukkan nilai a, b, dan c ke dalam rumus, kita sampai pada penyelesaiannya.

Perhatikan contoh berikut: ${\displaystyle 9x^{2}-12x+4=0}$

a = 9, b = -12 dan c = 4

contoh soal ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

${\displaystyle ={\frac {12\pm {\sqrt {{\bigl (}-12{\bigr )}^{2}-{\bigl (}4\times 9\times 4{\bigr )}}}}{2\times 9}}}$

${\displaystyle ={\frac {12\pm {\sqrt {144-144}}}{18}}}$

${\displaystyle ={\frac {(12\pm 0)}{18}}}$

${\displaystyle x={\frac {12}{18}}={\frac {2}{3}}}$

Penyelesaian Persamaan Rasional

Persamaan dengan setidaknya satu ekspresi polinomial dalam penyebutnya dikenal sebagai persamaan rasional. Memecahkan persamaan yang rasional melibatkan langkah-langkah berikut. Sederhanakan pecahan menjadi penyebut yang sama dan kemudian pecahkan persamaan pembilangnya .

Misalkan ${\displaystyle x/(x-1)=5/3}$

Pada perkalian silang, kita memperoleh

Rumus ${\displaystyle 3x=5(x-1)}$

${\displaystyle 3x=5x-5}$

${\displaystyle 3x-5x=-5}$

${\displaystyle -2x=-5}$

${\displaystyle x=5/2}$

Penyelesaian Persamaan Radikal

Persamaan yang variabelnya berada di bawah radikal disebut persamaan radikal. Memecahkan persamaan yang merupakan radikal melibatkan beberapa langkah. Nyatakan persamaan radikal yang diberikan dalam bentuk indeks radikal dan seimbangkan persamaannya. Pecahkan untuk variabelnya.

Perhatikan ${\displaystyle \surd (x+1)=4}$

Sekarang kuadratkan kedua sisi untuk menyeimbangkannya. ${\displaystyle {\sqrt {(x+1)}}]^{2}=4^{2}}$

${\displaystyle (x+1)=16}$

Jadi ${\displaystyle x=16-1=15}$

Catatan Penting tentang Penyelesaian Persamaan:

• Memecahkan persamaan adalah menemukan nilai variabel dalam persamaan.
• Penyelesaian suatu persamaan memenuhi syarat persamaan yang diberikan.
• Memecahkan persamaan tipe linear juga dapat dilakukan  secara grafis .
• Jika ruas kanan persamaan sama dengan nol, maka untuk menyelesaikan persamaan tersebut, tinggal gambarkan saja ruas kiri persamaan tersebut, dan titik potong grafik dengan sumbu x (s) akan menjadi penyelesaiannya.