Barisan Cauchy

Dalam analisis matematika, suatu barisan Cauchy, adalah barisan dari bilangan riil, bilangan kompleks, titik dalam ruang metrik, atau lebih umum lagi dari ruang seragam, yang mana suku-sukunya mendekat dan semakin dekat satu sama lain.^[1] Nama barisan ini diambil dari nama matematikawan Prancis Augustin Louis Cauchy.

Contoh barisan Cauchy: jarak antar suku dari barisan semakin kecil seiring bergeraknya barisan.

Suatu barisan yang bukan barisan Cauchy. Suku dari barisan tidak saling mendekat seiring bergeraknya barisan.

Pengertian barisan Cauchy penting dalam penentuan kelengkapan suatu ruang. Apabila barisan Cauchy dalam suatu ruang selalu konvergen (menuju suatu titik dalam ruang tersebut), ruang tersebut dikatakan lengkap. Contoh ruang yang lengkap adalah bilangan riil dan bilangan kompleks.

Dalam bilangan riil atau kompleks

Barisan bilangan riil atau kompleks ${\displaystyle (x_{n})}$ dikatakan Cauchy, atau memenuhi kriteria Cauchy, apabila untuk setiap ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ada indeks ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ sedemikian sehingga suku-suku setelah indeks tersebut berjarak kurang dari ${\displaystyle \varepsilon }$. Dalam notasi berkuantor dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon }$

dengan ${\displaystyle |x|}$ merupakan fungsi mutlak dari ${\displaystyle x}$.