Bilangan alef

Bilangan alef (bahasa Inggris: aleph number) dalam teori himpunan (suatu bidang matematika) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan kardinalitas (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (infinite set). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu huruf Ibrani "alef" (${\displaystyle \aleph }$).^[a]

Alef-nol (aleph-null), bilangan kardinal tak terhingga terkecil

Kardinalitas bilangan asli adalah ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (dibaca "alef-nol" (aleph-null), atau kadang kala dalam bahasa Inggris juga disebut aleph-naught atau aleph-zero). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (aleph-one) ${\displaystyle \aleph _{1}}$, kemudian ${\displaystyle \aleph _{2}}$ dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu bilangan kardinal ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ untuk setiap bilangan ordinal α, sebagaimana dinyatakan dibawah.

Konsep ini berasal dari Georg Cantor,^[3] yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.

Bilangan alef berbeda dari tak-hingga (∞) yang biasa ditemukan dalam aljabar dan kalkulus. Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak-hingga, di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai limit ekstrem dari garis bilangan real (diterapkan ke fungsi atau urutan yang "divergen ke tak hingga" atau "menambah tanpa batas"), atau titik ekstrem dari garis bilangan real diperluas.

Alef-nol

${\displaystyle \aleph _{0}}$ adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu "bilangan transfinit" atau "kardinal tak hingga". Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω₀, mempunyai kardinalitas ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas ${\displaystyle \aleph _{0}}$ jika dan hanya jika bilangan itu terhitung sebagai tak hingga, yaitu, ada bijeksi (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan tersebut adalah:

• himpunan semua bilangan kuadrat, himpunan semua bilangan kubik, himpunan semua bilangan pangkat empat, ...
• himpunan semua pangkat sempurna, himpunan semua pangkat prima,
• himpunan semua bilangan genap, himpunan semua bilangan ganjil,
• himpunan semua bilangan prima, himpunan semua bilangan komposit,
• himpunan semua bilangan bulat,
• himpunan semua bilangan rasional,
• himpunan semua bilangan aljabar,
• himpunan semua bilangan komputabel,
• himpunan semua bilangan definabel,
• himpunan semua string biner dengan panjang hingga, dan
• himpunan semua himpunan bagian hingga dari semua himpunan yang dapat terhitung sebagai tak hingga.

Ordinal tak hingga ini: ${\displaystyle \,\omega \;,}$ ${\displaystyle \,\omega +1\;,}$ ${\displaystyle \,\omega \,\cdot 2\,,\,}$ ${\displaystyle \,\omega ^{2}\,,}$ ${\displaystyle \,\omega ^{\omega }\,}$ dan ε${\displaystyle \,\varepsilon _{0}\,}$ adalah salah satu himpunan tak hingga yang terhitung.^[4] Misalnya, barisan (dengan ordinalitas ω·2) dari semua bilangan bulat ganjil positif diikuti oleh semua bilangan bulat genap positif

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

adalah urutan himpunan (dengan kardinalitas ${\displaystyle \aleph _{0}}$) dari bilangan bulat positif.

Jika aksioma pilihan terhitung (versi yang lebih lemah dari aksioma pilihan) berlaku, maka ${\displaystyle \aleph _{0}}$ lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya.

Alef-satu

${\displaystyle \aleph _{1}}$ adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung, disebut ω₁ atau (kadang-kadang) Ω. ω₁ sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu himpunan tak terhitung. Jadi, ${\displaystyle \aleph _{1}}$ berbeda dari ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Definisi ${\displaystyle \aleph _{1}}$ menyiratkan (dalam ZF, teori himpunan Zermelo–Fraenkel tanpa aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara ${\displaystyle \aleph _{0}}$ dan ${\displaystyle \aleph _{1}}$.

Hipotesis kontinum

Artikel utama: Hipotesis kontinum

Lihat pula: Bilangan beth

Kardinalitas suatu himpunan bilangan real (kardinalitas continuum) adalah ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$. Tidak dapat ditentukan dari ZFC (teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis kontinum , ekuivalen dengan persamaan identitas

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

Alef-ω

Secara konvensional, bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan ω, dan bilangan kardinal ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ merupakan batas atas terkecil dari

${\displaystyle \left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}}$

di antara bilangan-bilangan alef.

Alef-α untuk α umum

Untuk mendefinisikan ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ bagi bilangan ordinal sembarang ${\displaystyle \alpha }$, perlu didefinisikan operasi kardinal penerus, yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ⁺ berikutnya yang lebih besar dalam urutan teratur (jika aksioma pilihan masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).

Maka bilangan-bilangan alef dapat didefinikan sebagai berikut:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}}$

dan untuk λ, suatu ordinal limit tak terhingga,

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.}$

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$. Kardinalitasnya ditulis ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$. Lihat ordinal awal.

Peranan aksioma pilihan

Kardinalitas suatu bilangan ordinal tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah ordinal awalnya. Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah ekuinumeral dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik (well-orderable).

Lihat pula

• Alef
• Ananta
• Bilangan kardinal

Catatan

1. Dalam buku matematika lama, huruf alef dicetak terbalik secara tidak sengaja–misalnya, dalam Sierpiński (1958)^[1]: 402 huruf alef muncul dengan cara yang benar keatas dan terbalik–sebagian karena matriks monotipe untuk alef salah dibangun dengan posisi cara yang salah.^[2]