Identitas Euler

Identitas Euler^{[n 1]} (bahasa Inggris: Euler's identity), juga dikenal sebagai persamaan Euler (bahasa Inggris: Euler's equation), dalam analisis matematika, adalah suatu persamaan yang dirumuskan sebagai:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,\!}$

Bagian dari serial artikel mengenai
konstanta matematika e
Sifat
Logaritma alami Fungsi eksponensial
Penerapan
Bunga majemuk Identitas Euler Rumus Euler Waktu paruh pertumbuhan dan peluruhan eksponensial
Pendefinisian e
Bukti bahwa e irasional Representasi dari e Teorema Lindemann–Weierstrass
Tokoh
John Napier Leonhard Euler
Topik terkait
Konjektur Schanuel
l b s

di mana ${\displaystyle e\,\!}$ adalah bilangan Euler, ${\displaystyle i\,\!}$ adalah unit imajiner dan ${\displaystyle \pi \,\!}$ adalah pi (atau konstanta Archimedes).

Analisis

Rumus Euler untuk suatu sudut umum

Persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:

• ${\displaystyle 0\,\!}$ adalah identitas penambahan,
• ${\displaystyle 1\,\!}$ adalah identitas perkalian,
• ${\displaystyle e\,\!}$ adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya ≈ 2.718281828459045,
• ${\displaystyle i\,\!}$ adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah ${\displaystyle -i\,\!}$), dan
• ${\displaystyle \pi \,\!}$ adalah pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya ≈ 3.141592653589793.

Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penambahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.

Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.

Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik ${\displaystyle (1,0)}$ pada bidang kompleks sebesar 180° (${\displaystyle \pi }$ radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar ${\displaystyle 1}$ searah sumbu ${\displaystyle x}$. Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal ${\displaystyle (0,0)}$.

Bukti

Identitas Euler dapat dibuktikan menggunakan rumus Euler, yaitu:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

dengan mensubtitusikan ${\displaystyle x}$ dengan ${\displaystyle \pi }$ didapat:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+i\cdot 0\\&=-1\end{aligned}}}$

sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}$. Q.E.D.

Lihat pula

• Bilangan kompleks

Catatan

1. Istilah "identitas Euler" juga digunakan untuk merujuk pada konsep lain, termasuk fungsi umum e^ix = cos x + i sin x,^[1] dan Identitas darab Euler.^[2]