Faktorisasi

Faktorisasi dalam matematika adalah dekomposisi suatu objek (misalnya, suatu bilangan, polinomial, atau matriks) menjadi suatu produk objek lain, atau faktor, yang ketika dikalikan bersama menghasilkan bilangan asalnya. Contohnya, bilangan 15 difaktorkan menjadi bilangan prima sebagai 3 × 5, dan polinomial x² − 4 difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 2). Dalam segala kasus, diperoleh suatu produk dari objek yang lebih sederhana.

Polinomial x² + cx + d, di mana a + b = c dan ab = d, dapat difaktorisasi menjadi (x + a)(x + b).

Tujuan faktorisasi biasanya untuk mereduksi sesuatu menjadi "blok pembangun dasar" (“basic building blocks”), seperti bilangan-bilangan prima, atau polinomial menjadi polinomial tak tereduksi. Faktorisasi integers diatur oleh teorema dasar aritmetika dan faktorisasi polinomial diatur oleh teorema dasar aljabar. Rumus-rumus Vièta mengkaitkan koefisien-koefisien suatu polinomial pada akar-akarnya.

Lawan dari faktorisasi polinomial adalah ekspansi, yaitu perkalian bersama semua faktor polinomial menjadi suatu polinomial “terekspansi”, ditulis sebagai jumlah dari elemen-elemen.

Faktorisasi juga dapat merujuk ke dekomposisi objek matematika lain ke hasil perkalian objek-objek yang lebih kecil atau sederhana. Sebagai contoh, setiap fungsi dapat difaktorkan menjadi komposisi fungsi surjektif dan fungsi injektif. Matriks memiliki banyak jenis faktorisasi. Sebagai contoh, setiap matriks memiliki hasil faktorisasi LUP yang unik, dengan matriks segitiga bawah ${\displaystyle L}$ dengan entri pada diagonal utama bernilai 1, matriks segitiga atas ${\displaystyle U}$, dan matriks permutasi ${\displaystyle P}$; ketiga matriks ini didapatkan dari formulasi eliminasi Gaussian.

Bilangan bulat

Berdasarkan teorema dasar aritmetika, setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan prima secara unik (sampai pada orde dari faktornya).

Ekspresi

Manipulasi ekspresi adalah dasar dari aljabar. Ada beberapa alasan yang membuat faktorisasi adalah salah satu metode penting dalam manipulasi aljabar. Jika kita dapat menuliskan persamaan dalam bentuk terfaktorkan ${\displaystyle E\cdot F=0}$, maka menyelesaikan permasalahan [umumnya] menjadi lebih mudah karena kita dapat menyelesaikan permasalahan yang lebih sederhana ${\displaystyle E=0}$ dan ${\displaystyle F=0}$. Ketika sebuah ekspresi dapat difaktorkan, faktor-faktor tersebut umumnya lebih sederhana, dan dapat memberikan wawasan dari masalah tersebut. Sebagai contoh,

${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc}$

yang secara total memiliki 16 perkalian, 4 pengurangan, dan 3 penjumlahan, dapat difaktorkan menjadi ekspresi yang lebih sederhana

${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)}$

yang memiliki 2 perkalian dan 3 pengurangan. Lebih lanjut, bentuk hasil faktorisasi langsung memberikan fakta ${\displaystyle x=a,\,b,\,c}$ adalah akar dari polinomial tersebut.

Matriks

Gelanggang matriks bersifat tidak komutatif dan tidak memiliki faktorisasi yang unik: ada banyak cara menulis sebuah matriks sebagai hasil perkalian matriks-matriks. Karenanya, permasalahan faktorisasi matriks berisi bagaimana mencari faktor yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Sebagai contoh, faktorisasi LU memfaktorkan matriks menjadi hasil perkalian matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Karena hal tersebut tidak selalu berhasil, umumnya orang menggunakan faktorisasi LUP dengan matriks permutasi sebagai faktor ketiganya.

Lihat pula

• Bilangan prima
• Faktorisasi monoid
• Faktorisasi prima
• Melengkapi kuadrat
• Metode faktorisasi Euler
• Metode faktorisasi Fermat
• Partisi (teori bilangan) – cara menulis bilangan sebagai sebuah jumlah bilangan-bilangan bulat.
• Partisi perkalian
• Sintesis program
• Tabel faktorisasi bilangan bulat Gauss