Rumus Vieta

Dalam matematika, rumus Vieta atau teorema Vieta adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya. Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

François Viète matematikawan asal Prancis berhasil menemukan Rumus Vieta^[1]

Rumus dasar

Misalkan ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dan ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. Menurut teorema dasar aljabar, maka setiap polinomial yang berderajat ${\displaystyle n}$ dengan koefisien bilangan riil $${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\,\ldots \,+a_{1}x+a_{0}}$$ dapat dinyatakan sebagai $${\displaystyle P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\ldots \left(x-x_{n}\right)}$$ dengan ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}}$ merupakan bilangan-bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}}$ sebagai berikut: $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}\\{\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n}\\&{\phantom {=}}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n}+\cdots +x_{n-1}x_{n}\\&{\phantom {=}}\vdots \\\left(-1\right)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}x_{3}\cdot \ldots \cdot x_{n}\end{aligned}}}$$ Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}x_{i}\\{\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{2}x_{i_{j}}\right)\\-{\dfrac {a_{n-3}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{3}x_{i_{j}}\right)\\&\vdots \\\left(-1\right)^{k}{\dfrac {a_{n-k}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{k}x_{i_{j}}\right)\\&\vdots \\\left(-1\right)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=\prod _{j\,=\,1}^{n}x_{j}\end{aligned}}}$$ Perhatikan bahwa ${\displaystyle i_{1}}$ sampai dengan ${\displaystyle i_{k}}$ diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari ${\displaystyle k}$ akar digunakan tepat satu kali.

Ruas kanan dari rumus Vieta disebut sebagai polinomial simetri elementer dalam ${\displaystyle n}$ variabel.

Perumuman gelanggang

Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu ranah integral ${\displaystyle R}$. Maka, hasil bagi ${\displaystyle {\dfrac {a_{i}}{a_{n}}}}$ akan termuat pada lapangan pecahan dari ${\displaystyle R}$ (dan mungkin saja pada ${\displaystyle R}$ itu sendiri, jika ${\displaystyle a_{n}}$ merupakan elemen unit pada ${\displaystyle R}$) dan akarnya ${\displaystyle x_{i}}$ diambil pada perluasan lapangan yang tertutup secara aljabar. Biasanya, ${\displaystyle R}$ merupakan gelanggang bilangan bulat, lapangan pecahannya merupakan lapangan bilangan rasional, dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan bilangan kompleks.

Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.

Untuk polinomial atas gelanggang komutatif yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika ${\displaystyle a_{n}}$ bukan merupakan pembagi nol dan ${\displaystyle P(x)}$ dapat difaktorkan menjadi ${\displaystyle a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)}$. Sebagai contoh, fungsi kuadrat $${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$$ memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih ${\displaystyle x_{1}=1}$ dan ${\displaystyle x_{2}=3}$, sebab ${\displaystyle P(x)\neq \left(x-1\right)\left(x-3\right)}$. Akan tetapi, ${\displaystyle P(x)}$ dapat difaktorkan menjadi ${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-7\right)}$ atau ${\displaystyle \left(x-3\right)\left(x-5\right)}$, dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix}}}$ atau ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}}$.

Contoh

Rumus Vieta saat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar-akar ${\displaystyle x_{1}}$ dan ${\displaystyle x_{2}}$ dari polinomial kuadrat ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ akan memenuhi persamaan $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}&={\dfrac {c}{a}}\end{aligned}}}$$

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi ${\displaystyle P}$; lihat Persamaan kuadrat § Rumus-rumus Vieta.

Akar-akar ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ dan ${\displaystyle x_{3}}$ dari polinomial kubik ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ akan memenuhi persamaan $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}+r_{2}+r_{3}&=-{\frac {b}{a}}\\r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}&={\frac {c}{a}}\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-{\frac {d}{a}}\end{aligned}}}$$

Bukti

Bukti langsung

Menurut teorema dasar aljabar, jika ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}}$ merupakan akar-akar dari polinomial $${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$$ maka ${\displaystyle P(x)}$ dapat dinyatakan sebagai $${\displaystyle P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)}$$ Akibatnya, diperoleh persamaan $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)}$$ Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari ${\displaystyle x}$.

Secara formal, jika ekspresi ${\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)}$ dijabarkan, maka terdapat tepat ${\displaystyle n}$ pilihan biner pada setiap suku (ikutkan ${\displaystyle x}$ atau ${\displaystyle -x_{i}}$). Jika ${\displaystyle k}$ pilihan digunakan untuk memilih ${\displaystyle x}$ sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa ${\displaystyle n-k}$ faktor lainnya haruslah ${\displaystyle -x_{i}}$. Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum ${\displaystyle \left(-1\right)^{n-k}\left(x_{1}\right)^{b_{1}}\left(x_{2}\right)^{b_{2}}\cdot \ldots \cdot \left(r_{n}\right)^{b_{n}}x^{k}}$, dengan ${\displaystyle b_{i}}$ bernilai 0 atau 1, tergantung apakah ${\displaystyle r_{i}}$ menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat ${\displaystyle x}$ nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam ${\displaystyle x_{i}}$.

Induksi matematika

Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan induksi sebagai berikut.

Hipotesis

Misalkan

1. ${\displaystyle P(x)}$ adalah polinomial berderajat ${\displaystyle n}$
2. ${\displaystyle P(x)}$ memiliki akar-akar kompleks ${\displaystyle \left\{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}}$
3. ${\displaystyle P(x)}$ memiliki koefisien kompleks ${\displaystyle \left\{a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$, dengan ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$

maka $${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)}$$

Kasus dasar (n = 2)

Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan $${\displaystyle a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}$$ Dengan menggunakan sifat distributif, diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}&=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\\&=a_{2}\left(x-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}\right)\\&=a_{2}\left(x-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}\right)\end{aligned}}}$$ sehingga kasus dasar terbukti.

Langkah induksi

Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai ${\displaystyle n=k}$, dengan ${\displaystyle k\geq 2}$. Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk ${\displaystyle n=k+1}$. $${\displaystyle P(x)=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$$ Berdasarkan teorema faktor, maka ${\displaystyle \left(x-x_{n+1}\right)}$ dapat difaktorkan dari ${\displaystyle P(x)}$, dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan $${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=a_{n+1}\left(x^{n+1}+{\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}x^{n}+{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n+1}}}x^{n-1}+\ldots +{\dfrac {a_{1}}{a_{n+1}}}x+{\dfrac {a_{0}}{a_{n+1}}}\right)\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\cdot {\dfrac {x^{n+1}+{\tfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}x^{n}+{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n+1}}}x^{n-1}+\ldots +{\tfrac {a_{1}}{a_{n+1}}}x+{\tfrac {a_{0}}{a_{n+1}}}}{x-x_{n+1}}}\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\left(x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\,\ldots \,+c_{1}x+c_{0}\right)\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\\&=a_{n+1}\left(x\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\right.\\&{\phantom {=a_{n+1}}}\left.-x_{n+1}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\right)\\&=a_{n+1}\left(x^{n+1}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}+x_{n+1}\right)x^{n}+\ldots +\left(-1\right)^{n+1}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}x_{n+1}\right)\end{aligned}}}$$

Kesimpulan

Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus ${\displaystyle n=k+1}$, maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \left\{1\right\}}$. $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)}$$ Dengan membagi kedua ruas dengan ${\displaystyle x_{n}}$, maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.

Sejarah

Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh matematikawan asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser,^[2] prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard:

...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.

Lihat juga

• Portal Matematika

• Bagian primitif dan konten
• Aturan tanda Descartes
• Identitas Newton
• Teorema Gauss-Lucas
• Sifat geometris dari akar polinomial
• Teorema akar rasional
• Polinomial simetris dan polinomial simetri elementer