Grup automorfisme

Dalam matematika, grup automorfisme dari sebuah objek X adalah grup yang terdiri dari automorfisme dari X . Misalnya, jika X adalah dimensi hingga ruang vektor, maka grup automorfisme dari X adalah grup linier umum dari X , grup transformasi linear yang dapat dibalik dari X menjadi dirinya sendiri.

Khususnya dalam konteks geometris, grup automorfisme disebut juga sebagai grup simetri. Sebuah subgrup dari grup automorfisme disebut grup transformasi (terutama dalam literatur lama).

Contoh

• Grup automorfisme dari himpunan X adalah grup simetris dari X .
• A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan X sama dengan aksi grup pada X : memang, setiap kiri G , trivial pada satu himpunan X menentukan ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$, dan, sebaliknya, setiap homomorfisme ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$ mendefinisikan aksi dengan ${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$.
• Misalkan ${\displaystyle A,B}$ menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ himpunan dari semua bijeksi ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$. Kemudian ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$, yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ dari kiri bebas dan secara transitif; artinya, ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ adalah torsor untuk ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ (lih. #Dalam kategori teori).
• Grup automorfisme ${\displaystyle G}$ dari grup siklik dari urutan n adalah isomorfis ke ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ dengan isomorfisme yang diberikan oleh ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$.^[1] Secara khusus, ${\displaystyle G}$ adalah grup abelian.
• Diberikan ekstensi bidang ${\displaystyle L/K}$, grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang L yang fix K : itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari ${\displaystyle L/K}$.
• Grup automorfisme dari proyektif n - spasi di atas bidang k adalah grup linear proyektif ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$^[2]
• Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika G adalah grup Lie dengan aljabar Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, maka grup automorfisme dari G memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.^[3][4]
• Misalkan P menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang R . Maka melekatkan ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$, unique up to inner automorphisms.^[5]

Dalam teori kategori

Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika X adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari X adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari X untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari X . (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika ${\displaystyle A,B}$ adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ dari semua ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ adalah kiri ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$-torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ dibedakan secara jelas oleh elemen dari ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$, atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika ${\displaystyle X_{1}}$ dan ${\displaystyle X_{2}}$ adalah objek dalam kategori ${\displaystyle C_{1}}$ dan ${\displaystyle C_{2}}$, dan jika ${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$ adalah functor memetakan ${\displaystyle X_{1}}$ ke ${\displaystyle X_{2}}$, kemudian ${\displaystyle F}$ menginduksi homomorfisme grup ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$, karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika G adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek * atau, lebih umum, jika G adalah groupoid, maka setiap functor ${\displaystyle G\to C}$, C kategori, disebut aksi atau representasi G pada objek ${\displaystyle F(*)}$, or the objects ${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$. Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek ${\displaystyle G}$ (sebagaimana mereka ditindaklanjuti ${\displaystyle G}$); lih. ${\displaystyle \mathbb {S} }$-object. Jika ${\displaystyle C}$ adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka ${\displaystyle G}$ -objek juga disebut ${\displaystyle G}$ -modul.

Funktor grup automorfisme

Misalkan ${\displaystyle M}$ menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang k yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu, M adalah aljabar berdimensi-hingga di atas k ). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan k - peta linear ${\displaystyle M\to M}$ yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ dari ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$. Grup unit dari ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ adalah grup automorfisme ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$. Ketika basis pada M dipilih, ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ adalah ruang dari matriks kuadrat dan ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya, ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$ adalah grup aljabar linear di atas k .

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor:^[6] yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif R di atas k , pertimbangkan R -peta linear ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$ melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$. Kemudian grup unit gelanggang matriks ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ lebih R adalah grup automorfisme ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ dan ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas k ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut skema grup automorfisme dan dilambangkan dengan ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$.

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.

Lihat pula

• Grup automorfisme luar
• Struktur level, trik untuk grup automorfisme
• Grup Holonomi