Subgrup

Di teori grup, cabang matematika, diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke H × H adalah operasi grup di H. Ini biasanya dilambangkan H ≤ G, dibaca sebagai "H adalah subgrup dari G".

Untuk kegunaan lain, lihat Subgrup (disambiguasi).

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ Grup Klein ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Grup bebas Grup modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ Linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ Ortogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ Euklides ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ Ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ Uner ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ Uniter khusus ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ Simplektik ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Coset dan teorema Lagrange

Artikel utama: Coset dan Teorema Lagrange (teori grup)

Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a₁ ~ a₂ jika dan hanya jika a₁⁻¹a₂ ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H,

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

dimana |G| dan |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari |G|.^[1][2]

Contoh: Subgrup Z8

Maka G jadikan grup siklik ke Z₈ maka hasil elemen

${\displaystyle G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}}$

dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, dimana J juga merupakan subgrup dari H. Tabel Cayley untuk H adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk G . Grup G adalah siklik, dan juga subgrupnya.

Contoh: Subgrup S4 (grup simetris pada 4 elemen)

Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The trivial group and two-element groups Z₂. These small subgroups are not counted in the following list.

The symmetric group S4 showing all permutations of 4 elements

All 30 subgroups Simplified Hasse diagrams of the lattice of subgroups of S4

12 elements

The alternating group A₄ showing only the even permutations

Subgroups:

8 elements

Dihedral group of order 8 Subgroups:

Dihedral group of order 8 Subgroups:

Dihedral group of order 8 Subgroups:

6 elements

Symmetric group S3 Subgroup:

Symmetric group S3 Subgroup:

Symmetric group S3 Subgroup:

Symmetric group S3 Subgroup:

4 elements

Klein four-group

Klein four-group

Klein four-group

Klein four-group

Cyclic group Z4

Cyclic group Z4

Cyclic group Z4

3 elements

Cyclic group Z3

Cyclic group Z3

Cyclic group Z3

Cyclic group Z3

Lihat pula

• Subgrup Cartan
• Subgrup pas
• Subgrup stabil
• Subgrup titik tetap
• Tes subgrup