Setning Taylors

Setning Taylors gefur okkur kleift að rita k-diffranlegt raungilt fall sem summu af k-ta stigs Taylor margliðu fallsins í kringum gefinn punkt og tiltekins skekkjuliðs. Ef við viljum nota k-ta stigs Taylor margliðuna sem nálgun, tiltekin form af setningunni gefa okkur kleift um að meta skekkju nálguninnar.

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning Markgildi Samfelldni Vigurgreining Þinreikningur Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan Brotareglan Keðjureglan Fólgið fall Setning Taylors Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi Óeiginlegt heildi Hlutheildun Hringheildun Heildun snúða Innsetningaraðferðin Innsetning hornafalla Heildun ræðra falla

Fyrir raunfáguð föll, Taylor margliðan á gefnum punkti er stýfing af Taylor röð þess, sem fullkomlega ákvarðar fallið í tilteknu nágrenni punktsins. Það er hægt að hugsa þetta sem útvíkkun á línulegri nálgun, og tilfellið k=2 er oft kallað annars-stigs nálgun. Til eru mismunandi framsetningar á Taylor setningunni og ekki eru allir sammála um hvernig á að setja hana fram.

Setning Taylors er nefnd eftir stærðfræðinginn Brook Taylor sem uppgötvaði tiltekna útgáfu af setningunni árið 1712 og birti hana árið 1715. Taka skal þó fram að James Gregory uppgötvaði sömu setninguna 40 árum áður. Næstum eina öld eftir að Taylor birti setninguna leiddu Lagrange og Cauchy út nálganir á skekkjuliðinum^[1].

Setning Taylors er venjulega kennd í byrjunarkúrsum í örsmæðareikningi^[2] og tölulegri greiningu^[3].

Hægt er að alhæfa setningu Taylors fyrir föll af mörgum breytistærðun og vigurföll. Þessi alhæfing er undirstaða jets, sem birtist í deildarúmfræði og hlutafleiðujöfnum.

Setning Taylors fyrir eina raunbreytistærð

Til eru nokkrar framsetningar á setningu Taylors. Hér setjum við fram þrjár framsetningar sem hafa mismunandi skilyrði.

Einfalda framsetningin

Látum ${\displaystyle k\geq 1}$ vera heiltala og látum ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ vera fall sem er ${\displaystyle k}$-diffranlegt í punktinum ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. Þá er til fall ${\displaystyle h_{k}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ þ.a.${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k}}$

og ${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0}$.

Framsetning með afleiðuskekkju

Látum ${\displaystyle k\geq 1}$ vera heiltala og látum ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ vera fall sem er ${\displaystyle (k+1)}$-diffranlegt á opna bilinu ${\displaystyle (a,x)}$. Þá er til punktur ${\displaystyle \xi \in (a,x)}$ þ.a.

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{k+1}(\xi )}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}$

Framsetning með heildisskekkju

Látum ${\displaystyle k\geq 1}$ vera heiltala og látum ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ vera fall sem er ${\displaystyle (k+1)}$-diffranlegt á opna bilinu ${\displaystyle (a,x)}$. Gerum ráð fyrir að ${\displaystyle f^{(k+1)}}$ sé samfellt á lokaða bilinu ${\displaystyle [a,x]}$. Þá er til punktur ${\displaystyle \xi \in (a,x)}$ þ.a.

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{k}}{k!}}f^{(k+1)}(t)dt}$

Ath. að það er hægt að umrita skekkjuliðinn á eftirfarandi form:

${\displaystyle (x-a)^{(k+1)}\int _{0}^{1}{\frac {(1-s)^{k}}{k!}}f^{(k+1)}(a+s(x-a))ds}$

Skekkjumat á Taylor nálgunum

Skekkjumat með afleiðuskekkjuframsetningunni

Gerum ráð fyrir að við höfum fall ${\displaystyle f}$ sem uppfyllir öll skilyrðin í afleiðuskekkjuframsetningunni á setningu Taylors.

Þá má rita ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{k+1}(\xi )}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}$.

Látum ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(x)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{k}}$. Segjum nú að við viljum nota ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ sem nálgun fyrir ${\displaystyle f}$ og meta undirskorðuna og yfirskorðuna á skekkjunni.

Þ.e.a.s. við viljum finna undirskorðuna og yfirskorðuna á skekkjunni ${\displaystyle e(x)=f(x)-{\hat {f}}_{k}={\frac {f^{k+1}(\xi )}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}$.

Ef ${\displaystyle m\leq f^{k+1}(\xi )\leq M}$ þá ${\displaystyle {\frac {m}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}\leq e(x)\leq {\frac {M}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}$.

Ef ${\displaystyle |f^{k+1}(\xi )|\leq M}$, þá getum við yfirskorðað algildi skekkjunnar á eftirfarandi máta: ${\displaystyle |e(x)|\leq {\frac {M}{(k+1)!}}|x-a|^{k+1}}$.

Tenglar

• Setning Taylors námsefni úr kúrsinum Töluleg Greining sem er kenndur í HÍ Geymt 15 júní 2021 í Wayback Machine
• Námsefni um Taylor margliður úr kúrsinum Stærðfræðigreining sem er kenndur í HÍ Geymt 18 mars 2020 í Wayback Machine