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Esistono diversi metodi per il calcolo di π (pi greco).
π può essere ottenuto a partire da un cerchio di raggio ed area noti, essendo l'area data dalla formula:
che permette di calcolare esplicitamente π:
Se un cerchio di raggio r viene disegnato con il suo centro nel punto (0,0), qualsiasi punto la cui distanza dall'origine sia minore o uguale a r sarà all'interno del cerchio. Il teorema di Pitagora dà il quadrato della distanza di qualsiasi punto (x,y) dall'origine:
Il "foglio da disegno" matematico è costruito pensando quadrati di lato unitario centrati attorno ad ogni punto (x,y), dove x e y sono gli interi compresi fra -r e r. I quadrati i cui centri siano dentro o sulla circonferenza possono essere contati verificando per ciascuno se
Il numero di punti che soddisfano la condizione approssima allora l'area del cerchio, che può essere usata per calcolare un'approssimazione di .
La formula può essere scritta come:
In altre parole, si comincia scegliendo un valore di r; si considerano tutti i punti (x,y) per i quali sia x sia y siano interi compresi fra −r e r. Partendo da zero, si aggiunge uno per ciascun punto la cui distanza dall'origine (0,0) sia minore o uguale a r. Al termine, si divide la somma così ottenuta — rappresentante l'area del cerchio di raggio r — per l'intero r2 per trovare un'approssimazione di π. Si ottengono migliori approssimazioni per valori maggiori di r.
Per esempio, se r è 5, allora i punti considerati sono:
(−5,5) | (−4,5) | (−3,5) | (−2,5) | (−1,5) | (0,5) | (1,5) | (2,5) | (3,5) | (4,5) | (5,5) |
(−5,4) | (−4,4) | (−3,4) | (−2,4) | (−1,4) | (0,4) | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) | (5,4) |
(−5,3) | (−4,3) | (−3,3) | (−2,3) | (−1,3) | (0,3) | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) | (5,3) |
(−5,2) | (−4,2) | (−3,2) | (−2,2) | (−1,2) | (0,2) | (1,2) | (2,2) | (3,2) | (4,2) | (5,2) |
(−5,1) | (−4,1) | (−3,1) | (−2,1) | (−1,1) | (0,1) | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) | (5,1) |
(−5,0) | (−4,0) | (−3,0) | (−2,0) | (−1,0) | (0,0) | (1,0) | (2,0) | (3,0) | (4,0) | (5,0) |
(−5,−1) | (−4,−1) | (−3,−1) | (−2,−1) | (−1,−1) | (0,−1) | (1,−1) | (2,−1) | (3,−1) | (4,−1) | (5,−1) |
(−5,−2) | (−4,−2) | (−3,−2) | (−2,−2) | (−1,−2) | (0,−2) | (1,−2) | (2,−2) | (3,−2) | (4,−2) | (5,−2) |
(−5,−3) | (−4,−3) | (−3,−3) | (−2,−3) | (−1,−3) | (0,−3) | (1,−3) | (2,−3) | (3,−3) | (4,−3) | (5,−3) |
(−5,−4) | (−4,−4) | (−3,−4) | (−2,−4) | (−1,−4) | (0,−4) | (1,−4) | (2,−4) | (3,−4) | (4,−4) | (5,−4) |
(−5,−5) | (−4,−5) | (−3,−5) | (−2,−5) | (−1,−5) | (0,−5) | (1,−5) | (2,−5) | (3,−5) | (4,−5) | (5,−5) |
I 12 punti (0,±5), (±5,0), (±3,±4), (±4,±3) sono esattamente sulla circonferenza, e ci sono 69 punti completamente all'interno, così l'area approssimata vale 81, e π vale in questa approssimazione 3.24. Risultati per diversi r sono riportati nella tabella seguente:
r | Area | Approssimazione di π |
---|---|---|
2 | 13 | 3.25 |
3 | 29 | 3.22222 |
4 | 49 | 3.0625 |
5 | 81 | 3.24 |
10 | 317 | 3.17 |
20 | 1257 | 3.1425 |
100 | 31417 | 3.1417 |
1000 | 3141549 | 3.141549 |
In modo simile, gli algoritmi più complessi riportati di seguito coinvolgono calcoli ripetuti di qualche tipo, e portano ad approssimazioni migliori al crescere del numero di calcoli.
A parte la rappresentazione in termini di frazioni continue [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], che non mostra alcuno schema riconoscibile, π ha molte rappresentazioni come frazione continua generalizzata, incluse le seguenti:
(Altre rappresentazioni si trovano presso The Wolfram Functions Site [1].)
è la serie di potenze di arctan(x) nel caso particolare ; la sua velocità di convergenza è troppo lenta perché sia di interesse pratico. Comunque, la serie converge molto più rapidamente per piccoli valori di ; si giunge quindi a formule dove si ricava come somma di tangenti razionali, come quella di John Machin:
Formule per di questo tipo sono note come formule di tipo Machin.
Considerando un triangolo equilatero ed osservando che
si trova che:
L'algoritmo di Salamin-Brent fu scoperto indipendentemente da Richard Brent e Eugene Salamin nel 1975. Permette di calcolare fino a N cifre significative in un tempo proporzionale a N log(N) log(log(N)), molto più velocemente delle formule trigonometriche.
La formula BBP (Bailey-Borwein-Plouffe) per calcolare fu scoperta nel 1995 da Simon Plouffe. La formula calcola in base 16 senza bisogno di calcolare le cifre precedenti ("estrazione di cifre"). [2][3]
Una formula alternativa per il calcolo di in base 64 venne derivato da Fabrice Bellard; tale metodo permette di calcolare cifre il 43% più velocemente.[4]
Nel 1996, Simon Plouffe ha ottenuto un algoritmo per calcolare cifre di in una base arbitraria in un tempo O(n3log(n)3).[5]
Nel 1997, Fabrice Bellard ha migliorato la formula di Plouffe per l'estrazione di cifre in una base arbitraria, riducendo il tempo di calcolo a O(n2).[6]
Il progetto Pi Hex, terminato nel 2000, ha calcolato cifre binarie di su una rete distribuita impiegando parecchie centinaia di computer.
Ispirato da Pi Hex and Project Pi, Background Pi [7] cerca di calcolare cifre decimali sequenzialmente. È in fase di sviluppo una nuova versione, che gestisca diversi progetti con un'interfaccia più amichevole rispetto al BOINC.
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