Disequazione logaritmica

Una disequazione logaritmica è una disequazione in cui l'incognita compare come argomento o come base di un logaritmo, come ad esempio ${\displaystyle log_{2}(x+6)<9\;}$. È una disequazione trascendente, in quanto non riconducibile a somme o prodotti di polinomi. Non è una disequazione logaritmica una disequazione del tipo ${\displaystyle x^{5}+44x+log_{3}7>0\;}$, perché l'incognita non compare né come argomento né come base del logaritmo^[1].

Risoluzione di una disequazione logaritmica

Per la risoluzione di una disequazione logaritmica del tipo ${\displaystyle log_{a}b<c\;}$ si deve cercare di ridurre la disequazione in forma canonica utilizzando le proprietà del logaritmi:

${\displaystyle log_{a}b<c\;}$ → ${\displaystyle log_{a}b<log_{a}k\;}$, dove ${\displaystyle log_{a}k=c\;}$ Ricordando come varia la monotonia della funzione logaritmica in funzione della base (il logaritmo è una funzione crescente per basi ${\displaystyle a>1}$ e decrescente per basi ${\displaystyle 0<a<1\;}$), si hanno due casi:^[2]

${\displaystyle a>1\;}$:${\displaystyle \;\;\;\;\;\;log_{a}b<log_{a}k\;\;\;\;\;\;}$→${\displaystyle \;b<k}$

${\displaystyle 0<a<1\;}$:${\displaystyle \;\;\;\;\;\;log_{a}b<log_{a}k\;\;\;\;\;\;}$→${\displaystyle \;b>k}$.

Esempio: ${\displaystyle log_{2}(x+5)<3\;}$.

${\displaystyle 3\;}$ può essere riscritto come ${\displaystyle log_{2}8\;}$. Pertanto:

${\displaystyle log_{2}(x+5)<3\;\;\;\;\;}$→${\displaystyle \;\;\;\;\;log_{2}(x+5)<log_{2}8\;\;\;\;\;}$→${\displaystyle \;\;\;\;\;x+5<8\;\;\;\;\;}$→${\displaystyle \;\;\;\;\;x<3\;}$

Note

1. Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi Editori, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.103
2. Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi Editori, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.106

Bibliografia

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi Editori, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

Voci correlate

• Logaritmo
• Disequazione

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