Loading AI tools
gruppo delle simmetrie di un poligono regolare Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, il gruppo diedrale di ordine è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a lati.
L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.
Il gruppo diedrale viene usualmente indicato con ; si usano anche le notazioni e .
Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto rotazioni possibili e assi di simmetria per un poligono di lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da elementi.
Indicato con la rotazione di radianti in senso antiorario, e la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:
Segue che è possibile generare tutto il gruppo da ed ; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni e (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).
È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:
Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici opposti e metà passano per il centro dei lati opposti) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di :
Il caso è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo .
Il caso (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a (gruppo di Klein).
e sono gli unici gruppi diedrali commutativi.
L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da
sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a lati. La moltiplicazione per corrisponde alla rotazione di , mentre l'operazione di coniugazione complessa corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine .
Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione di un angolo sottomultiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero per cui è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di , non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con ) ha infiniti elementi.
La sua presentazione è data da oppure .
Dato un gruppo commutativo , il gruppo diedrale generalizzato di , che si indica con , è il prodotto semidiretto di e di , con che agisce su per inversione.
Valgono cioè le regole di moltiplicazione:
Poiché e , questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di isomorfo ad , mentre gli elementi del tipo corrispondono alle riflessioni.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.