Prodotto diretto

In algebra, il prodotto diretto di gruppi è un gruppo ottenuto partendo dal prodotto cartesiano di gruppi e munendolo di una specifica operazione. In alcuni casi è possibile realizzare il procedimento inverso: partire da un gruppo e decomporlo come prodotto diretto di suoi sottogruppi. Il vantaggio è evidente: i sottogruppi fattori, avendo ordine minore rispetto al gruppo di partenza, sono più semplici da studiare.

Prodotto diretto di due gruppi

Prodotto diretto esterno

Siano ${\displaystyle (G_{1},*_{1})}$ e ${\displaystyle (G_{2},*_{2})}$ due gruppi. Ricordando che

${\displaystyle G_{1}\times G_{2}:=\{(a_{1},a_{2})\,|\,a_{1}\in G_{1},a_{2}\in G_{2}\},}$

si definisce su tale insieme l'operazione ${\displaystyle *}$ nel seguente modo:

${\displaystyle (a_{1},a_{2})*(b_{1},b_{2}):=(a_{1}*_{1}b_{1},a_{2}*_{2}b_{2}),}$

con ${\displaystyle a_{1},b_{1}\in G_{1}}$ e ${\displaystyle a_{2},b_{2}\in G_{2}}$.

Grazie alle strutture di gruppo di ${\displaystyle G_{1}}$ e ${\displaystyle G_{2}}$, si osserva che:

• l'operazione ${\displaystyle *}$ è associativa;
• ${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$ è l'elemento neutro (con ${\displaystyle e_{i}}$ elemento neutro di ${\displaystyle G_{i}}$);
• ogni elemento possiede l'inverso definito da

  ${\displaystyle (a_{1},a_{2})^{-1}:=(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}).}$

La coppia ${\displaystyle (G_{1}\times G_{2},*)}$ è pertanto un gruppo chiamato prodotto diretto esterno tra ${\displaystyle G_{1}}$ e ${\displaystyle G_{2}}$.

Prodotto diretto interno

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo. Detti ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$ due sottogruppi di ${\displaystyle G}$ è possibile, sotto determinate condizioni, decomporre ${\displaystyle G}$ come

${\displaystyle G\cong H\times K.}$

In questo caso il gruppo ${\displaystyle H\times K}$ viene detto prodotto diretto interno tra ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$.

Decomposizione tramite prodotto diretto interno

Proposizione^[1]

Siano ${\displaystyle G}$ un gruppo e ${\displaystyle H,K}$ due sottogruppi di ${\displaystyle G}$ tali che:

• ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$ sono sottogruppi normali di ${\displaystyle G}$;
• ${\displaystyle H\cap K=\{e\}}$, dove ${\displaystyle e}$ è l'elemento neutro di ${\displaystyle G}$;
• ${\displaystyle HK=G}$.

Allora vale la decomposizione

${\displaystyle G\cong H\times K.}$

L'isomorfismo è la funzione

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi \colon H\times K&\rightarrow G\\(h,k)&\mapsto hk.\end{aligned}}}$

Esempio

Detti ${\displaystyle D_{k}}$ il gruppo diedrale di ordine ${\displaystyle 2k}$ e ${\displaystyle C_{k}}$ il gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle k}$,^[2] risulta

${\displaystyle D_{6}\cong D_{3}\times C_{2}.}$

Decomposizione di gruppi ciclici

Nel caso particolare dei gruppi ciclici, è possibile imporre una condizione sull'ordine dei sottogruppi per avere la validità della proposizione precedente.

Proposizione (gruppi ciclici)^[3]

Siano due numeri naturali ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ coprimi. Allora si ha

${\displaystyle C_{pq}\cong C_{p}\times C_{q}.}$

L'isomorfismo è la funzione ${\displaystyle \phi }$ data da

${\displaystyle \phi (a^{k})=(b^{k},c^{k}),}$

con ${\displaystyle a,b,c}$ generatori rispettivamente di ${\displaystyle C_{pq},C_{p},C_{q}}$.

Esempi

I numeri 3 e 5 sono coprimi, dunque risulta

${\displaystyle C_{15}\cong C_{3}\times C_{5}.}$

Il numero 2 non è coprimo con sé stesso, dunque non è vero che

${\displaystyle C_{4}\cong C_{2}\times C_{2}.}$^[4]

Generalizzazioni

La teoria sopra presentata si può generalizzare al caso di ${\displaystyle n}$ gruppi.

• Dato un prodotto diretto ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$, si ha

  ${\displaystyle |G_{1}\times G_{2}|=|G_{1}|\cdot |G_{2}|.}$

  Analogamente, nel caso di un prodotto formato da ${\displaystyle n}$ gruppi, si ha

  ${\displaystyle |G_{1}\times \ldots \times G_{n}|=\prod _{i=1}^{n}|G_{i}|.}$

• Se ${\displaystyle r=r_{1}\cdot \ldots \cdot r_{n}}$, con tutti gli ${\displaystyle r_{i}}$ coprimi, vale

  ${\displaystyle C_{r}\cong C_{r_{1}}\times \ldots \times C_{r_{n}}.}$

  L'isomorfismo è analogo al caso di due gruppi considerando i generatori di tutti gli ${\displaystyle n}$ gruppi ciclici.

• Dato un prodotto diretto ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$, è possibile metterlo in relazione con i gruppi fattori.
  Ad esempio la funzione

  ${\displaystyle {\begin{aligned}i_{1}\colon G_{1}&\rightarrow G_{1}\times G_{2},\\a&\mapsto (a,e_{2}),\end{aligned}}}$

  identifica ${\displaystyle G_{1}}$ con il sottogruppo ${\displaystyle G_{1}\times \{e_{2}\}}$. Invece, la funzione

  ${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}\colon G_{1}\times G_{2}&\rightarrow G_{1},\\(a_{1},a_{2})&\mapsto a_{1},\end{aligned}}}$

  detta proiezione, ricava il gruppo ${\displaystyle G_{1}}$ dal prodotto iniziale. La definizione delle funzioni ${\displaystyle i_{2}}$ e ${\displaystyle p_{2}}$ è analoga e la costruzione è estendibile al prodotto di ${\displaystyle n}$ gruppi.