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il più piccolo numero intero positivo multiplo di a e di b Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, il minimo comune multiplo di due numeri interi e , indicato con , è il più piccolo numero intero positivo multiplo sia di sia di . Nel caso particolare in cui uno tra o è uguale a zero, allora si definisce uguale a zero[1]. È possibile calcolare il minimo comune multiplo di più di due numeri, sostituendo man mano due dei numeri con il loro comune multiplo e proseguendo fino a che non rimane un solo numero che è il risultato; si può dimostrare che il risultato è lo stesso qualunque sia l'ordine in cui vengono fatte le sostituzioni.
Per calcolare il minimo comune multiplo, si possono usare vari procedimenti equivalenti.
Il minimo comune multiplo è utile quando occorre sommare due o più frazioni. La regola per la somma di frazioni richiede infatti di cominciare con il trasformarle in modo che tutti i denominatori siano uguali; a questo punto si possono sommare i numeratori, e usare il valore comune dei denominatori come denominatore. Il più piccolo denominatore che si può usare, detto minimo comune denominatore, è proprio il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo di due numeri e diversi da zero può essere calcolato usando il massimo comun divisore (MCD) di e e la formula seguente:
Per esempio:
Per semplificare i conteggi ci si può ricordare che per costruzione il MCD tra due numeri è divisore di ciascuno di loro; si può pertanto cominciare a dividere uno dei numeri per il massimo comun divisore e poi moltiplicare il risultato per il secondo numero. In questo esempio abbiamo così . Per calcolare velocemente il minimo comune multiplo si può usare l'algoritmo di Euclide.
Una variante del metodo precedente permette di semplificare automaticamente il MCD e di verificare il risultato ottenuto. Se per esempio si vuole trovare il , i passi sono i seguenti.
Il ridurre ai minimi termini la frazione costruita con i due numeri è infatti equivalente a dividere ciascuno di essi per il massimo comun divisore, e la moltiplicazione a croce completa il prodotto del metodo precedente.
Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di può essere scritto in un modo unico come prodotto di fattori primi. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.
Per esempio:
Il numero composto è costituito da un elemento uguale al numero primo , due elementi uguali al numero primo e un elemento uguale al numero primo .
Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.
Per esempio: calcolare il .
Il minimo comune multiplo è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi
Il vantaggio di questo metodo è che può essere direttamente usato per calcolare il minimo comune multiplo di più numeri; lo svantaggio è che non sempre è facile trovare la scomposizione in fattori dei numeri di partenza.
Il minimo comune multiplo può anche essere calcolato tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori (monomi, binomi, trinomi...), comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri.
Esempio:
Si ha che
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