Coefficiente multinomiale

Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Siano ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{r}}$ dei numeri interi positivi con ${\displaystyle k_{1}+\ldots +k_{r}=n}$. Il coefficiente multinomiale è definito come

${\displaystyle {n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}},}$

dove ${\displaystyle \prod _{i=1}^{r}}$ è il simbolo della produttoria. Il coefficiente multinomiale è sempre un numero naturale.^[1]

Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}},}$

ossia

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{r}x_{i}{\bigg )}^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}},}$

dove ${\displaystyle \sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}}$ indica la sommatoria di tutte le possibili ${\displaystyle r}$-ple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a ${\displaystyle n}$.

In particolare, per ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{r}=1}$ si ottiene:

${\displaystyle r^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{k_{i}!}}}.}$

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=n}n!{\frac {\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }}{\mathbf {k}$ !}},}

con le norme unitarie:

${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}=\left\|\mathbf {k} \right\|_{1},}$

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{r}x_{i}=\left\|\mathbf {x} \right\|_{1},}$

e

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathbf {k} }=(x_{1}^{k_{1}},x_{2}^{k_{2}},\ldots ,x_{r}^{k_{r}})\in \mathbb {R} ^{r}.}$

Applicazioni

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi ${\displaystyle n}$ oggetti in ${\displaystyle r}$ scatole distinte, tali che ${\displaystyle k_{1}}$ oggetti stiano nella prima scatola, ${\displaystyle k_{2}}$ nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di ${\displaystyle n}$ oggetti, di cui ${\displaystyle k_{1}}$ uguali tra loro, ${\displaystyle k_{2}}$ uguali tra loro e così via, dove i valori ${\displaystyle k_{i}}$ sono numeri naturali uguali o maggiori a ${\displaystyle 1}$ che soddisfano quindi ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n}$.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale, una variabile casuale discreta, generalizzazione della variabile casuale binomiale. Notiamo ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{r})}$ una variabile casuale che segue la legge multinomiale di parametri ${\displaystyle \left((p_{1},\ldots ,p_{r}),n\right)}$, dove i valori ${\displaystyle p_{i}}$ sono dei numeri positivi tali che ${\displaystyle p_{1}+\ldots +p_{r}=1}$. Immaginamo di lanciare ${\displaystyle n}$ volte un dado a ${\displaystyle r}$ facce distinte, di cui la ${\displaystyle i}$-esima faccia ha probabilità ${\displaystyle p_{i}}$ di apparire, allora ${\displaystyle X_{i}}$ è il numero di volte che la ${\displaystyle i}$-esima faccia è apparsa (per ogni ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,r\}}$). In particolare ${\displaystyle X}$ prende i valori ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{r})}$ con probabilità

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X=(k_{1},\ldots ,k_{r})\right)={n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}.}$

Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

${\displaystyle {32 \choose 10,10,10,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2753294408504640.}$