Correlazione (statistica)

In statistica, una correlazione è una relazione tra due variabili tale che a ciascun valore della prima corrisponda un valore della seconda, seguendo una certa regolarità.^[1][2] La correlazione non dipende da un rapporto di causa-effetto quanto dalla tendenza di una variabile a cambiare in funzione di un'altra.

Diversi insiemi di punti di due variabili (X;Y) con relativo coefficiente di correlazione Pearson. Il coefficiente di correlazione rispecchia la rumorosità e la direzione di un rapporto lineare (riga in alto), ma non la pendenza di tale relazione (in centro), ne eventuali altri aspetti di correlazione non lineare (in basso). N.B.: la figura in centro ha coefficiente di correlazione indefinito dato che ha pendenza uguale a 0, a causa della varianza della variabile Y uguale a 0.

Detto altrimenti correlazione non significa causazione^[3].

Storia

Il termine apparve per la prima volta in un'opera di Francis Galton, Hereditary Genius (1869).^[4] Non fu definita in modo più approfondito (la moralità di un individuo e la sua instabilità morale sono non correlate)^[5].

Otto anni dopo, nel 1877, lo stesso Galton scoprì che i coefficienti di regressione lineare tra X e Y sono gli stessi se a entrambe le variabili viene applicata la deviazione standard σ_x e σ_y: Galton utilizzò in realtà lo scarto interquartile, definendo il parametro "coefficiente di co-relazione" e abbreviando "regressione" in r^[6].

Descrizione

In base alle caratteristiche presentate, la correlazione può definirsi:

• diretta (o positiva): la variazione di un elemento interessa - in via diretta - anche l'altro. Per esempio, alle stature alte dei padri corrispondono stature alte dei figli;
• indiretta (anche inversa o negativa): alla variazione di un elemento corrisponde, in senso contrario, quella dell'altro. Ad esempio, a una maggior produzione di grano corrisponde un prezzo minore.

Inoltre, le correlazioni possono essere:

• semplici: mettono in relazione due fenomeni, per esempio il numero di matrimoni e la quantità di nascite;
• doppie: se i fenomeni posti in relazione sono tre, come la circolazione monetaria, i prezzi e il risparmio;
• triple: quando pongono in relazione tra loro quattro elementi.

Il grado di correlazione tra due variabili viene espresso tramite l'indice di correlazione.^[7] Il valore che esso assume è compreso tra −1 (correlazione inversa) e 1 (correlazione diretta e assoluta), con un indice pari a 0 che comporta l'assenza di correlazione; il valore nullo dell'indice non implica, tuttavia, che le variabili siano indipendenti.

I coefficienti di correlazione sono derivati dagli indici, tenendo presenti le grandezze degli scostamenti dalla media. In particolare, l'indice di correlazione di Pearson è calcolato come rapporto tra la covarianza delle due variabili e il prodotto delle loro deviazioni standard:^[8]

${\displaystyle -1\leq \rho _{xy}={\frac {\sigma _{xy}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu _{x})(y_{i}-\mu _{y})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu _{x})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-\mu _{y})^{2}}}}}\leq +1}$

Va comunque notato che gli indici e i coefficienti di correlazione siano da ritenersi sempre approssimativi, a causa dell'arbitrarietà con cui sono scelti gli elementi: ciò è vero, in particolare, nei casi di correlazioni multiple.

Contrariamente a quanto si potrebbe intuire, la correlazione non dipende da un rapporto di causa-effetto quanto dalla tendenza di una variabile a cambiare in funzione di un'altra.^[9] Le variabili possono essere tra loro dipendenti (per esempio la relazione tra stature dei padri e dei figli) oppure comuni (relazione tra altezza e peso di una persona).^[10]

Nel cercare una correlazione statistica tra due grandezze, per determinare un possibile rapporto di causa-effetto, essa non deve risultare una correlazione spuria.^[11]

Errore standard

Se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono variabili aleatorie, l'errore standard associato al coefficiente di correlazione è:

${\displaystyle SE_{r}={\sqrt {\frac {1-r^{2}}{n-2}}},}$^[12]

dove ${\displaystyle r}$ è il coefficiente di correlazione e ${\displaystyle n}$ è la numerosità campionaria.^[13][14]