Cosecante

In trigonometria la cosecante è una funzione definita come il reciproco del seno e indicata solitamente con la notazione csc:^[1]

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}$

Grafico della funzione cosecante

In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto

Poiché il seno di un angolo è nullo quando l'angolo è pari a ${\displaystyle k\pi }$ (${\displaystyle k}$ intero), la cosecante è definita sul dominio dei reali privati dei multipli interi di ${\displaystyle \pi }$. In conseguenza di ciò, il grafico della funzione cosecante ha asintoti verticali per ${\displaystyle x=k\pi }$.

In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto^[2]: se tale cateto è unitario, la cosecante dell'angolo corrisponde all'ipotenusa del triangolo.

Caratteristiche

Periodo

La cosecante è una funzione periodica con periodo ${\displaystyle 2\pi }$, formalmente:

${\displaystyle \csc x=\csc(x+2k\pi ),k\in \mathbb {Z} }$.

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che ${\displaystyle \csc x={1 \over \operatorname {sen} x}}$:^[3]

${\displaystyle x}$ in radianti	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle x}$ in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
${\displaystyle \csc(x)}$	${\displaystyle \nexists }$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \nexists }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \nexists }$

Derivata

La derivata prima della cosecante si ottiene ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente^[4]:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\sin x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\csc x\cdot \cot x}$