Elemento assorbente

In matematica, un elemento assorbente è un particolare tipo di elemento di un insieme rispetto ad un'operazione binaria nel dato insieme. Il risultato della combinazione di un elemento assorbente con qualsiasi altro elemento dell'insieme è l'elemento assorbente stesso. Nella teoria dei semigruppi, l'elemento assorbente è chiamato elemento zero.^[1][2]

Definizione

Sia ${\displaystyle (S,\circ )}$ una coppia ordinata di un insieme e un'operazione binaria definita nell'insieme stesso (cioè un magma). Un elemento assorbente ${\displaystyle z}$ di ${\displaystyle S}$ è tale che, per tutti gli elementi ${\displaystyle s}$ di ${\displaystyle S}$, si ha ${\displaystyle z\circ s=s\circ z=z}$.

Una definizione più ampia distingue due tipi di elemento assorbente: l'elemento zero destro, per cui ${\displaystyle s\circ z=z}$ per ogni ${\displaystyle s\in S}$, e l'elemento zero sinistro, per cui ${\displaystyle z\circ s=z}$ per ogni ${\displaystyle s\in S}$.^[2] Un elemento che sia zero destro che zero sinistro è un elemento assorbente secondo la definizione precedente.

Proprietà

• Se un magma gode di un elemento zero destro ${\displaystyle z}$ ed uno zero sinistro ${\displaystyle z'}$, allora essi coincidono e costituiscono l'elemento zero del magma. Infatti, ${\displaystyle z=z'\times z=z'}$.
• Se un magma ha un elemento assorbente, esso è unico.

Esempi

Insieme	Operazione	Elemento assorbente
numeri reali	· (moltiplicazione)	0
numeri interi	massimo comun divisore	1
matrici quadrate	· (moltiplicazione)	matrice nulla
numeri reali estesi	elemento minimo	−∞
numeri reali estesi	elemento massimo	+∞
insiemi	∩ (intersezione)	{ } (insieme vuoto)
sottoinsiemi di M	∪ (unione)	M
logica booleana	∧ (congiunzione logica)	⊥ (falso)
logica booleana	∨ (disgiunzione inclusiva)	⊤ (vero)
Insieme	Operazione	Elemento zero sinistro
numeri reali	: (divisione)	0