Finite impulse response

Nella teoria dei segnali, in particolare nell'elaborazione numerica dei segnali, un sistema dinamico finite impulse response, in italiano risposta finita all'impulso e spesso abbreviato in FIR, è una tipologia di filtro digitale caratterizzata da una risposta impulsiva di durata finita, cioè che si annulla ad un tempo finito. I sistemi la cui risposta non si annulla ad un tempo finito sono detti infinite impulse response (IIR).

Definizione

Un filtro FIR a tempo discreto di ordine N con risposta impulsiva ${\displaystyle b[n]}$.

L'uscita ${\displaystyle y(t)}$ di un sistema dinamico lineare tempo-invariante (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso ${\displaystyle x(t)}$ è descritta dalla convoluzione ${\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)}$, dove ${\displaystyle h(t)}$ è la risposta del sistema quando l'ingresso ${\displaystyle x(t)}$ è una funzione a delta di Dirac. L'uscita ${\displaystyle y}$ è quindi proporzionale alla media dell'ingresso ${\displaystyle x}$ pesata dalla funzione ${\displaystyle h(-\tau )}$, traslata di un tempo ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau }$

Un sistema dinamico lineare stazionario discreto trasforma la successione in ingresso ${\displaystyle \{x\}}$ in un'altra successione ${\displaystyle \{y\}}$, data dalla convoluzione discreta con la risposta ${\displaystyle h}$ alla delta di Kronecker:

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k]}$

Gli elementi di ${\displaystyle \{y\}}$ possono dipendere da ogni elemento di ${\displaystyle \{x\}}$. Solitamente ${\displaystyle y[n]}$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo ${\displaystyle n}$.

Per un filtro a tempo discreto l'uscita è una somma pesata dei valori assunti dall'ingresso al tempo corrente ed a tempi precedenti. Tale operazione è descritta dalla seguente equazione:

${\displaystyle y[n]=h_{0}x[n]+h_{1}x[n-1]+\cdots +h_{N}x[n-N]=\sum _{i=0}^{N}h_{i}x[n-i]}$

dove ${\displaystyle h_{i}}$ sono detti coefficienti del filtro, che determinano la risposta impulsiva, ed ${\displaystyle N}$ l'ordine del filtro. Per un filtro di ordine ${\displaystyle \scriptstyle N}$ compaiono ${\displaystyle \scriptstyle (N\,+\,1)}$ termini nel membro alla sinistra.

Filtro a media mobile

Diagramma a blocchi di un filtro FIR a media mobile di ordine 2

Poli e zeri di un filtro FIR a media mobile di ordine 2

Un filtro a media mobile è uno dei più semplici filtri FIR, i cui coefficienti ${\displaystyle b_{0},\,\dots ,\,b_{N}}$ soddisfano l'equazione:

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}$

Ad esempio, un filtro di ordine ${\displaystyle N=2}$ ha risposta impulsiva:

${\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}$

Facendone la trasformata zeta:

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}}$

i cui due poli sono nell'origine e i due zeri in:

${\displaystyle z_{1}\;=\;-{\frac {1}{2}}\,+\,j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\qquad z_{2}\;=\;-{\frac {1}{2}}\,-\,j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

La risposta in frequenza (in radianti per campione) è:

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }}$

Bibliografia

• (EN) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4.
• (EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9.

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Ergodicità
• Funzione di trasferimento
• Infinite impulse response
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario discreto
• Teoria della stabilità
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata zeta

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Collegamenti esterni

• (EN) Denis Howe, Finite impulse response, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL

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