Gruppo modulare

In matematica, il gruppo modulare ${\displaystyle \Gamma }$ è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.

Definizione

Il gruppo modulare ${\displaystyle \Gamma }$ è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

dove ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle d}$ sono interi e ${\displaystyle ad-bc=1}$. L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.

Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ quozientato con il suo centro ${\displaystyle \{I,-I\}}$, dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$, che consiste nelle matrici

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

dove ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle d}$ sono interi, ${\displaystyle ad-bc=1}$ e le matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle -A}$ sono considerate uguali.

Presentazione

Le trasformazioni

${\displaystyle S\colon z\mapsto -{\frac {1}{z}},}$

${\displaystyle T\colon z\mapsto z+1,}$

generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di ${\displaystyle \Gamma }$ può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$.

Geometricamente ${\displaystyle S}$ rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)=0}$, mentre ${\displaystyle T}$ rappresenta la traslazione unitaria a destra.

I generatori ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ soddisfano le relazioni ${\displaystyle S^{2}=1}$ e ${\displaystyle (ST)^{3}=1}$. Si dimostra^[1] che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione

${\displaystyle \Gamma \cong \langle S,T\mid S^{2}=I,(ST)^{3}=I\rangle .}$