Matrice intera

In matematica, una matrice intera è una matrice i cui elementi sono tutti numeri interi.

Alcuni esempi sono le matrici binarie, la matrice zero, la matrice identità e le matrici di adiacenza utilizzate nella teoria dei grafi. Le matrici intere trovano frequente applicazione in combinatoria.

Esempi

Le matrici

${\displaystyle {\begin{pmatrix}5&2&6&0\\4&7&3&8\\5&9&0&4\\3&1&0&\!\!\!-3\\9&0&2&1\end{pmatrix}}\qquad {\text{e}}\qquad {\begin{pmatrix}1&5&0\\0&9&2\\1&7&3\end{pmatrix}}}$

sono esempi di matrici intere.

Proprietà

L'invertibilità delle matrici intere è in generale numericamente più stabile di quella delle matrici non intere. Il determinante di una matrice intera è esso stesso un numero intero, quindi il valore numericamente più piccolo possibile del determinante di una matrice intera invertibile è 1, quindi nei casi in cui esistono, le matrici inverse non diventano eccessivamente grandi (si veda condizionamento). I teoremi della teoria delle matrici che deducono le proprietà dai determinanti evitano così i problemi indotti da matrici con valori reali o in virgola mobile mal condizionate (ovvero con determinanti quasi nulli).

L'inversa di una matrice intera ${\displaystyle M}$ è ancora una matrice intera se e solo se il determinante di ${\displaystyle M}$ è uguale a ${\displaystyle 1}$ o ${\displaystyle -1}$. Matrici intere con determinante ${\displaystyle 1}$ formano il gruppo ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$, che ha vaste applicazioni in aritmetica e geometria. Tale gruppo, per ${\displaystyle n=2}$, è strettamente correlato al gruppo modulare.

L'intersezione delle matrici intere con il gruppo ortogonale è il gruppo delle matrici di permutazione con segno .

Il polinomio caratteristico di una matrice intera ha coefficienti interi. Poiché gli autovalori di una matrice sono le radici di questo polinomio, gli autovalori di una matrice intera sono interi algebrici . In dimensione minore di 5, possono quindi essere espressi da radicali che coinvolgono numeri interi.

Le matrici intere sono talvolta denominate da alcuni autori matrici integrali; tuttavia l'uso di tale denominazione è sconsigliabile in quanto potenzialmente foriera di confusione.

Voci correlate

• Matrice unimodulare

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Integer Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.

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