Numero di Harshad

Un numero di Harshad in una data base è un numero intero positivo divisibile per la somma delle proprie cifre.

La definizione dei numeri di Harshad è stata data dal matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Il termine Harshad deriva dal sanscrito "harṣa" che significa "grande gioia". A volte ci si riferisce a questi numeri anche come numeri di Niven, in onore del matematico Ivan Morton Niven.

Definizione matematica

Dato un intero positivo ${\displaystyle X}$ che, espresso in base ${\displaystyle n}$, sia di ${\displaystyle m}$ cifre ${\displaystyle a_{i}}$ (con ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,m-1}$) (si noti che ${\displaystyle a_{i}}$ deve essere zero o un intero positivo inferiore a ${\displaystyle n}$), allora ${\displaystyle X}$ può essere scritto come:

${\displaystyle X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.}$

Se esiste un intero ${\displaystyle A}$ tale che valga la seguente uguaglianza, allora ${\displaystyle X}$ è un numero di Harshad in base ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle X=A\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}.}$

Numeri di Harshad in base 10

I primi numeri di Harshad nella base 10 con più di una cifra sono (sequenza A005349 dell'OEIS):

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204.

Numeri di Harshad consecutivi

Helen Grundman ha dimostrato nel 1994 che, in base 10, non esistono sequenze di numeri di Harshad consecutivi di lunghezza pari o superiore a 21. Ha anche individuato la prima sequenza di 20 numeri consecutivi: si trova oltre ${\displaystyle 10^{44363342786}}$.

Stima della quantità di numeri di Harshad

Sia ${\displaystyle N(x)}$ la funzione che restituisce il numero di numeri di Harshad minori o uguali a ${\displaystyle x}$:

• Jean-Marie De Koninck e Nicolas Doyon hanno dimostrato che per qualsiasi ${\displaystyle \varepsilon >0}$: ${\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}$.

• De Koninck, Doyon e Kátai hanno poi dimostrato che, posto ${\displaystyle c={\frac {14}{27}}\log 10\approx 1,1939}$: ${\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}}$.

Quali numeri possono o non possono essere numeri di Harshad?

• Ogni numero naturale con notazione ${\displaystyle n\cdot 10^{i}}$, dove ${\displaystyle n}$ è una qualsiasi cifra compresa tra 1 e 9, e ${\displaystyle i}$ è un qualsiasi intero maggiore o uguale a 0, è un numero di Harshad poiché la somma delle sue cifre è pari ad ${\displaystyle n}$.^[1]

• Ogni numero naturale con notazione ${\displaystyle nnn}$ è un numero di Harshad, infatti ${\displaystyle nnn=n\cdot 10^{2}+n\cdot 10^{1}+n\cdot 10^{0}=n\cdot (100+10+1)=n\cdot 111=n\cdot (3\cdot 37)=(3\cdot n)\cdot 37}$, per cui ${\displaystyle nnn}$ è sicuramente divisibile per la somma delle sue cifre, ossia ${\displaystyle 3n}$.^[2]

• Con procedimento analogo si può dimostrare che ogni numero naturale con notazione ${\displaystyle n\ldots n}$ di lunghezza ${\displaystyle l}$ uguale a una qualsiasi potenza naturale di 3, è un numero di Harshad, infatti si può sempre fattorizzare come ${\displaystyle ln}$.

• Tutti i fattoriali fino a ${\displaystyle 431!}$ compreso sono numeri di Harshad. Il numero ${\displaystyle 432!}$ è il primo a non esserlo. Invece lo sono altri fattoriali, ad esempio: ${\displaystyle 444!,453!,458!,474!,476!,485!,489!,\ldots }$

• Ogni numero naturale con notazione ${\displaystyle 9R_{n}a_{n}}$, dove ${\displaystyle R_{n}}$ è il numero in base 10 formato da ${\displaystyle n}$ ripetizioni della cifra 1, ${\displaystyle n>0}$, e ${\displaystyle a_{n}}$ è un qualsiasi intero positivo minore di ${\displaystyle 10^{n}}$ e multiplo di ${\displaystyle n}$, è un numero di Harshad.(R. D'Amico, 2019).^[3]

Numeri di Harshad in base b

Un numero di Harshad in una generica base ${\displaystyle b}$ viene definito un numero di ${\displaystyle b}$-Harshad (secondo la notazione di Grundman del 1994).

I numeri 1, 2, 4 e 6 sono gli unici numeri a essere numeri di Harshad in qualunque base siano espressi; per questa proprietà sono detti numeri di Harshad completi.

Numeri di b-Harshad consecutivi

In notazione binaria, c'è un numero infinito di sequenze di 4 numeri di 2-Harshad; in notazione ternaria, c'è un numero infinito di sequenze di 6 numeri di 3-Harshad. Entrambe le dimostrazioni si devono a T. Cai che le pubblicò nel 1996.

Che numeri possono o non possono essere numeri di b-Harshad?

• Ogni numero ${\displaystyle n}$ inferiore alla base ${\displaystyle b}$ è un numero di b-Harshad. Infatti essendo la sua notazione di una sola cifra, risulta evidentemente essere divisibile per sé stesso.

• Ogni numero ${\displaystyle a}$ che sia una potenza intera di ${\displaystyle b}$ (ossia ${\displaystyle a=b^{n}}$) è un numero di b-Harshad, poiché la sua notazione in base ${\displaystyle b}$ è ${\displaystyle 10,100,\ldots ,10\ldots 0}$ quindi la somma delle cifre di ${\displaystyle a}$ è sempre uguale a 1 che è sicuramente un divisore di ${\displaystyle a}$.

• Un numero primo ${\displaystyle p}$ è un numero di b-Harshad solamente se è inferiore o uguale alla base ${\displaystyle b}$. La prima regola esposta assicura la validità di questa regola per i casi ${\displaystyle p<b}$. La seconda regola esposta, per il caso ${\displaystyle p=b}$ (nell'eventulità che ${\displaystyle b}$ stesso sia primo). La validità per i casi rimanenti può essere dimostrata per assurdo, infatti se esistesse un numero primo ${\displaystyle p}$, superiore alla base ${\displaystyle b}$ che fosse un numero di ${\displaystyle b}$-Harshad, allora la somma delle sue cifre (che è necessariamente inferiore a ${\displaystyle p}$ e superiore all'unità) sarebbe un divisore di ${\displaystyle p}$ che, tuttavia, essendo primo ammette come divisori unicamente ${\displaystyle p}$ e l'unità.

Numeri Harshad-morfici

Un numero intero ${\displaystyle t}$ si dice Harshad-morfico (o Niven-morfico) se, per una data base ${\displaystyle b}$, è possibile trovare un numero di ${\displaystyle b}$-Harshad ${\displaystyle n}$, tale che la somma delle sue cifre sia uguale a ${\displaystyle t}$, e ${\displaystyle t}$ sia la parte terminale della notazione di ${\displaystyle n}$ scritto nella stessa base ${\displaystyle b}$.

Ad esempio, 18 è Harshad-morfico in base 10, poiché:

• 16218 ha 18 come somma delle cifre;
• 18 è un divisore di 16218 (quindi 16218 è un numero di Harshad);
• 18 è la parte finale di 16218.

Sandro Boscaro ha dimostrato che in base 10 tutti i numeri interi sono Harshad-morfici tranne 11.