Rodonea

In geometria è detta rodonea la curva algebrica o trascendente il cui grafico è caratterizzato da una serie di avvolgimenti attorno ad un punto centrale. Nei casi più noti tali avvolgimenti producono figure a forma di rosone, da cui deriva alla curva il nome rodonea (dal greco rhódon, ròsa). La curva rodonea è chiamata anche rosa di Grandi da Luigi Guido Grandi, il matematico che la battezzò e studiò intorno al 1725.

Rodonee ottenute per valori diversi del parametro ${\displaystyle \omega ={\frac {n}{d}}}$

Vari modi per la costruzione di Rose di Grandi. Animazioni realizzate in MSWLogo^[1]

La rodonea si può considerare un caso particolare di ipocicloide.

Equazione della curva

L'equazione della rodonea in coordinate polari ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$ è:

${\displaystyle \rho =R\sin \omega \theta }$,

dove ${\displaystyle R}$ è un numero reale positivo che rappresenta la massima distanza della curva dal centro degli avvolgimenti, e ${\displaystyle \omega }$ è un numero reale positivo che determina la forma della curva. È possibile anche scrivere la rodonea come ${\displaystyle \rho =R\cos \omega \theta }$, che produce una figura analoga, ma ruotata di un angolo pari a ${\displaystyle {\frac {\pi }{2\omega }}}$ radianti.

Proprietà

Se ${\displaystyle \omega }$ è un numero intero, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, tutti passanti per l'origine degli assi, che generano una serie di "petali" componenti la figura a forma di rosone; il numero dei petali è pari a:

• ${\displaystyle \omega }$, se ${\displaystyle \omega }$ è dispari;
• ${\displaystyle 2\omega }$, se ${\displaystyle \omega }$ è pari.

Osserviamo che non è possibile ottenere rose con un numero di petali pari a ${\displaystyle 4n+2}$. Per ${\displaystyle \omega =1}$ si ottiene un unico petalo, ovvero una circonferenza non centrata nell'origine.

L'area della superficie racchiusa dalla curva è pari a ${\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{2}}}$ per ${\displaystyle k}$ pari, a ${\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{4}}}$ per ${\displaystyle k}$ dispari.

Se ${\displaystyle \omega }$ è un numero razionale ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, che si intersecano in più punti creando una serie di petali parzialmente sovrapposti; nella figura a fianco sono visualizzate le rodonee ottenute per alcuni valori di ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle d}$. Come caso particolare, per ${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}}$, si ottiene il folium di Dürer.

In entrambi i casi precedenti, la curva ottenuta è algebrica; se invece ${\displaystyle \omega }$ è un numero irrazionale, la curva è trascendente ed ha un numero infinito di avvolgimenti che non si chiudono e formano un insieme denso, passando arbitrariamente vicino a ogni punto del cerchio di raggio ${\displaystyle R}$.