Secante (trigonometria)

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:^[1]

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}.}$

Grafico della funzione secante

Definizione geometrica

Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro ${\displaystyle O}$, l'angolo al centro ${\displaystyle \theta }$ tale che ${\displaystyle \theta \not ={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$, con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, individua su questa un punto ${\displaystyle C}$. La retta tangente alla circonferenza in ${\displaystyle C}$ interseca l'asse ${\displaystyle x}$ nel punto ${\displaystyle B}$; si definisce secante di ${\displaystyle \theta }$ l'ascissa del punto ${\displaystyle B}$ così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente^[2]: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

${\displaystyle \sec ^{2}\theta =1+\tan ^{2}\theta ,}$

${\displaystyle \sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }},}$

comunque deducibili dalla definizione di secante.^[3]

La funzione secante è definita su tutto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tranne che nei punti ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$, con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, mentre la sua immagine è tutto l'insieme ${\displaystyle \mathbb {R} }$ escluso l'intervallo ${\displaystyle \left(-1,1\right)}$.

${\displaystyle \sec$ :\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}\rightarrow \mathbb {R} \setminus \left(-1,1\right)}

Dimostrazione

Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che ${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}$.

Il triangolo ${\displaystyle {\overset {\vartriangle }{AOG}}}$ è simile al triangolo ${\displaystyle {\overset {\vartriangle }{COB}}}$ (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione:

${\displaystyle {OC \over OB}={OG \over OA}}$

Ora

${\displaystyle OB=\cos \theta ,}$

${\displaystyle OC=1,}$

${\displaystyle OG=\sec \theta ,}$

${\displaystyle OA=1.}$

Quindi:

${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\sec \theta }{1}},}$

da cui

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}.}$

Calcolo dell'insieme di definizione e dell'immagine

I punti ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi \in \mathbb {R} }$ devono essere esclusi dal dominio, poiché la funzione ${\displaystyle \cos }$ si trova al denominatore e si annulla in questi punti. Per quanto riguarda l'immagine, invece, si ha

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad -1\leq \cos x\leq 1,}$

ossia

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \cos x\geq -1\wedge \cos x\leq 1.}$

Pertanto

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad {\frac {1}{\cos x}}=\sec x\leq -1\wedge {\frac {1}{\cos x}}=\sec x\geq 1,}$

ossia

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \sec x\in \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right]=\mathbb {R} \setminus \left(-1,1\right).}$

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che ${\displaystyle \sec x={1 \over \cos x}}$:^[1]

${\displaystyle x}$ in radianti	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle x}$ in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \nexists }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \nexists }$	${\displaystyle 1}$

Derivate

La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente^[4]:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).}$

Relazione trigonometrica secante-cosecante

Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria ${\displaystyle (\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)}$ è la seguente relazione tra secante e cosecante:

${\displaystyle \mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x}$

per ogni ${\displaystyle x\neq k{\pi \over 2}}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per ${\displaystyle \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x}$.