Spazio separabile

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio separabile è uno spazio topologico che contiene un sottoinsieme numerabile e denso.^[1]

Gli spazi usati generalmente in analisi matematica e in geometria sono separabili: ad esempio la retta reale è separabile, perché contiene i numeri razionali, che sono un sottoinsieme denso e numerabile.

Allo stesso modo in cui i numeri reali possono essere approssimati, con la precisione desiderata, con numeri razionali, così uno spazio separabile possiede sottoinsiemi numerabili, tramite i quali ci si può avvicinare quanto si vuole a ogni suo elemento, nel senso di limite matematico.

Definizione

Uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è detto separabile se esiste un sottoinsieme numerabile e denso in ${\displaystyle X}$, cioè:

${\displaystyle {\overline {\{x_{n}\in X,n=1,2,\ldots \}}}=X}$.^[2]

Esempi

• Uno spazio discreto è separabile se e solo se è numerabile.
• I numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con l'usuale topologia formano uno spazio separabile: l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali è un sottoinsieme denso e numerabile. Più in generale, uno spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è separabile, perché contiene l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ denso e numerabile.
• Lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ con la metrica della convergenza uniforme è separabile: i polinomi a coefficienti razionali formano un sottoinsieme denso e numerabile (teorema di approssimazione di Weierstrass).
• Uno spazio di Hilbert è separabile se e solo se ha una base ortonormale numerabile.

Proprietà

• L'immagine di uno spazio separabile tramite una funzione continua è separabile. Quindi lo spazio quoziente di uno spazio separabile è separabile.
• Il prodotto di una quantità numerabile di spazi separabili è separabile.
• Un sottospazio di uno spazio separabile può non essere separabile. Infatti ogni spazio non separabile è contenuto in uno separabile: è sufficiente aggiungere allo spazio non separabile un punto, e imporre che la chiusura di questo sia tutto lo spazio.
• D'altra parte, ogni sottospazio aperto di uno spazio separabile è separabile e ogni sottospazio di uno spazio metrico separabile è separabile^[3].
• La cardinalità di uno spazio di Hausdorff separabile è al più ${\displaystyle 2^{C}}$, dove ${\displaystyle C=\operatorname {card} (\mathbb {R} )}$.
• L'insieme di tutte le funzioni continue a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ su uno spazio separabile ha cardinalità al più ${\displaystyle C}$.