Triangolo isoscele

In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.^[1]

Triangolo isoscele

Vale il seguente teorema: "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.

In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base.

Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.

I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

Simmetrie

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme ${\displaystyle \{1,-1\}}$.

Triangoli isosceli in geometria analitica

Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. ${\displaystyle y=k,}$
2. ${\displaystyle y=mx,}$
3. ${\displaystyle y=-mx,}$

ne calcoliamo le intersezioni a due a due:

${\displaystyle {\begin{cases}y=k\\y=mx\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {k}{m}}\\y=k\end{cases}}}$

${\displaystyle A\left({\frac {k}{m}},k\right);}$

${\displaystyle {\begin{cases}y=k\\y=-mx\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=-{\frac {k}{m}}\\y=k\end{cases}}}$

${\displaystyle B\left(-{\frac {k}{m}},k\right);}$

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx\\y=-mx\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}}$

${\displaystyle C(0,0).}$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle BC}$.

${\displaystyle AC={\sqrt {\left({\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}},}$

${\displaystyle BC={\sqrt {\left(-{\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}.}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base ${\displaystyle AB}$. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse ${\displaystyle y}$.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.

Dati i due punti:

1. ${\displaystyle A(x_{1},k),}$
2. ${\displaystyle B(x_{2},k),}$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle M\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},k\right).}$

Quindi troviamo ${\displaystyle C}$, che avrà la stessa ascissa di ${\displaystyle M}$ e diversa ordinata:

${\displaystyle C\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},h\right).}$

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

${\displaystyle AC={\sqrt {\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}},}$

${\displaystyle BC={\sqrt {\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}.}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

${\displaystyle m_{AC}=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{2}-x_{1}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{2}-x_{1}}},}$

${\displaystyle m_{BC}=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{1}-x_{2}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{1}-x_{2}}}.}$

Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. ${\displaystyle y=x+q,}$
2. ${\displaystyle y=mx,}$
3. ${\displaystyle y={\frac {1}{m}}x,}$

ne calcoliamo le intersezioni a due a due:

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+q\\y=mx\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x(m-1)=q\\y=mx\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {q}{m-1}}\\y={\frac {mq}{m-1}}\end{cases}}}$

${\displaystyle A\left({\frac {q}{m-1}},{\frac {mq}{m-1}}\right);}$

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+q\\y={\frac {1}{m}}x\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x(1-m)=mq\\y={\frac {1}{m}}x\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {mq}{1-m}}\\y={\frac {q}{1-m}}\end{cases}}}$

${\displaystyle B\left({\frac {mq}{1-m}},{\frac {q}{1-m}}\right);}$

${\displaystyle {\begin{cases}y={\frac {1}{m}}x\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}}$

${\displaystyle C(0,0).}$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle BC}$.

${\displaystyle AC={\sqrt {\left({\frac {q}{m-1}}\right)^{2}+\left({\frac {mq}{m-1}}\right)^{2}}},}$

${\displaystyle BC={\sqrt {\left({\frac {mq}{1-m}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{1-m}}\right)^{2}}}.}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base ${\displaystyle AB}$. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse ${\displaystyle y}$.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).

Dati i due punti:

1. ${\displaystyle A(0,q),}$
2. ${\displaystyle B(-q,0),}$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle M\left(-{\frac {q}{2}},{\frac {q}{2}}\right).}$

Quindi troviamo ${\displaystyle C}$, che si trova sulla retta di equazione ${\displaystyle y=-x}$ perpendicolare alla base e passante per ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle C(h,-h),}$

dove ${\displaystyle h}$ è un numero reale arbitrario diverso da ${\displaystyle 0}$. Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

${\displaystyle AC={\sqrt {h^{2}+(q+h)^{2}}},}$

${\displaystyle BC={\sqrt {(-q-h)^{2}+h^{2}}}.}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

${\displaystyle m_{AC}={\frac {-h-q}{h}}=-{\frac {h+q}{h}},}$

${\displaystyle m_{BC}={\frac {-h}{h+q}}=-{\frac {h}{h+q}}.}$