イフ合同心

幾何学において、イフ合同心（いふごうどうしん^[1]、英: Yff center of congruence）は三角形の中心の一つである。1987年、ピーター・イフの三角形の中心に関する研究で発見された^[2]。

二等辺化線

Aの二等辺化線（isoscelizer）とは、それぞれAB,AC上の点P₁, Q₁について、△AP₁Q₁が二等辺三角形となるとき直線P₁ Q₁のことを指す。Aの内角の二等分線に垂直である。1963年、ピーター・イフによって導入された^[3]。

Yff central triangle

  基準三角形△ABC

  △A'P₂Q₃ ≅   △Q₁B'P₃ ≅   △P₁Q₂C' ≅

  △A'B'C' (Yff central triangle)

△ABCについて 、A,B,Cの二等辺化線をそれぞれP₁Q₁,P₂Q₂,P₃Q₃ とする。また、P₁Q₁,P₂Q₂,P₃Q₃からなる三角形を△A'B'C' とする。4つの三角形△A'P₂Q₃, △Q₁B'P₃, △P₁Q₂C',△A'B'C' は常に相似である。

△A'P₂Q₃, △Q₁B'P₃, △P₁Q₂C',△A'B'C' が合同 であるとき、△A'B'C' はYff central triangleと呼ばれる^[4]。Yff central triangleの外接円はYff central circleと呼ばれる。

イフ合同心

Yff central triangleのアニメーション。イフ合同心はYff central triangleが一点に退化したものである。

△ABCについて P₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃ がYff central triangle△A'B'C' を成すようにとる。二等辺化線 P₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃を、△A'P₂Q₃, △Q₁B'P₃, △P₁Q₂C'が合同を保つように、平行に動かすと、△A'B'C' が点に退化するときがある。この点を△ABCのイフ合同心という。

性質

△ABC はYff central triangleの傍接円の共通外接線が成す三角形となる。

• イフ合同心はEncyclopedia of Triangle CentersでX(174)として紹介されており、三線座標は以下の式で与えられる^[5]。$${\displaystyle \sec {\frac {A}{2}}:\sec {\frac {B}{2}}:\sec {\frac {C}{2}}}$$
• △ABCの辺はYff central triangleの傍接円の共通外接線である。
• △ABCの内心をIとする。また、∠BID = ∠DICを満たすBC上の点をD、CA,ABにも同様にしてE,Fを定義する。AD, BE, CFはイフ合同心で交わる^[5]。これは下記の一般化に使用されている。
• 接触三角形の外接線三角形（extangents triangle）と基準三角形の相似中心である。
• コンピュータの補助によってYff central triangleはいくつかの性質が判明している^[6]。

一般化

イフ合同心の一般化

△ABCと任意の点Pについて、BC, CA, AB上に以下を満たす点D, E, Fをとる。$${\displaystyle \angle BPD=\angle DPC,\quad \angle CPE=\angle EPA,\quad \angle APF=\angle FPB.}$$AD, BE, CFは共点である^[5]。Pを三線座標でp:q:rとすると、その点の三線座標は、

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(q^{2}+r^{2}+2qr\cos A)}}}:{\frac {1}{\sqrt {(r^{2}+p^{2}+2rp\cos B)}}}:{\frac {1}{\sqrt {(p^{2}+q^{2}+2pq\cos C)}}}}$

である。PとPを外接円で反転した点の、この一般化された点は一致する。

関連

• 合同二等辺化線点
• 中心三角形（英語版）
• 合同辺平行線点