三角形の中心

三角形の中心（さんかくけいのちゅうしん、英: triangle center）とは、任意の三角形から一意的に求めることができる点の総称である^[1]。他に芯、心などとも^[2]。

例

以下のような例がある（他にもいろいろある）。

3本の線の交点

3頂点または3辺に対し指定された方法で引かれた3本の直線が1点で交わる（共点である）とき、その交点。共点であることを示すためにチェバの定理がよく利用される。

例

• 垂心 - 3本の高さ（各頂点からその対辺へ垂直に下ろした線分）の交点。
• 内心 - 角の二等分線、3本の交点。
• 外心 - 辺の垂直二等分線、3本の交点。
• 重心 - 3本の三角形の中線(各頂点とその対辺の中点を結ぶ線分)の交点。
• 加重重心 - 各頂点とその対辺の内分点を結ぶ線分、3本の交点。各頂点に各辺の比をいれかえた値の重りをつり下げるとつりあいの中心となる。
• ジェルゴンヌ点 - 頂点と対辺に内接円が接する点を結ぶ線3本の交点。

エクセター点や安島-マルファッティ点のように、線分の作図に複数のステップを踏むものもある。

円の中心

特定の円の中心に当たる点。

例

• 内心 - 3辺に接する円（内接円）の中心。
• 外心 - 3頂点を通る円（外接円）の中心。
• 傍心 - 三角形の傍接円の中心。
• 六点円の中心 - 各頂点から下ろした垂線の足から他の2辺に下ろした合計6個の垂線の足を通る円の中心。
• 九点円の中心 - 各辺の中点、各頂点からその対辺に下ろした垂線の足、垂心と各頂点の中点の9点を通る円の中心。
• シュピーカー点 - 中点三角形の内心。

既存の点や線から導かれるもの

計量を最小にする点、特定の2点の中点、特定の線と円の交点など。

例

• フェルマー点 - 3頂点からの距離の和が最小となる点。
• 九点円の中心 - 外心と垂心の中点に当たる点。
• 等力点 - 3つのアポロニウスの円の交点。

上で例にあげた内心や九点円のように、1つの点を複数の方法で定義することも可能である。

歴史

内心・外心・重心・垂心・傍心（五心）などは古くから知られており、ユークリッドの「原論」にも記述が見られる。

他の点の多くは、1678年のチェバの定理より後となる。この定理によって存在が容易に示される心は少なくない。代表的な心にジェルゴンヌ点などがある。

モーレーの定理の発表などもあり、19世紀から20世紀にかけて三角形の研究は広く行われた。この時期に発見された点にはブロカール点・ド・ロンシャン点などがある。

その後も新しい心が提示されており、エヴァンズビル大学内のサイト「Encyclopedia of Triangle Centers」には2024年現在62000以上の心が登録されている。

名称

心の名前には、その心に関する研究をした人の名前が付けられることが多い。ナポレオン点のナポレオン・ボナパルトやソディ点のフレデリック・ソディのように、数学者以外の名前がつく例もある。

安島-マルファッティ点のように、日本人の名前が入っているものもある。

三線座標と重心座標

平面上の点を表す座標として三角形の各頂点に対して対称な座標を導入すると、心の位置を表すのに便利である。そのような座標として、三線座標と重心座標が使われる。

三線座標系は、点を三角形の各辺からの距離を用いて表現する座標である。点Pが辺BCから h_A・辺CAから h_B・辺ABから h_C だけ離れているとき、Pの三線座標を (h_A, h_B, h_C) で表す。実際にはこの値を単純な比に換算したものが用いられる。実際の距離で示したものを絶対三線座標という。辺に対し三角形と反対側にある場合には、この数字は負の値をとる。

例：内心の三線座標は (1, 1, 1) であり、絶対三線座標は (r, r, r) である。ここで r は内接円の半径である。

重心座標系（英語版）は、△PBCと△PCAと△PABの面積の比で表される。点Pの重心座標が (g_A, g_B, g_C) のとき、

${\displaystyle {\vec {P}}={\frac {g_{A}{\vec {A}}+g_{B}{\vec {B}}+g_{C}{\vec {C}}}{g_{A}+g_{B}+g_{C}}}}$

が成り立つ。重心座標によって指定される点は、三角形の頂点 A, B, C に (g_A, g_B, g_C) の質量を置いた時のいわゆる「加重重心」に相当する。

三線座標と重心座標の間には、g_A : g_B : g_C = a h_A : b h_B : c h_C の関係が成り立つ。ここで、a, b, c は 3 辺の長さである。

3 点の三線座標からなる行列式の値が 0 の場合、その 3 点は同一直線上にある。重心座標でも同様である。

主な心を三線座標・重心座標と共に示す^{[註 1]}と以下のようになる:

記号[註 2]	名称	三線座標または hA = h(a, b, c)[註 3]	重心座標または gA = g(a, b, c) [註 3]
X1, I	内心	(1, 1, 1)	(a, b, c)
X2, G	重心	(1/a, 1/b, 1/c)	(1, 1, 1)
X3, O	外心	(cos A, cos B, cos C)	(sin 2A, sin 2B, sin 2C) (a2(b2+c2-a2), b2(c2+a2-b2), c2(a2+b2-c2))
X4, H	垂心	(1/cos A, 1/cos B, 1/cos C)	(tan A, tan B, tan C) (1/(b2+c2-a2), 1/(c2+a2-b2), 1/(a2+b2-c2))
X5, N	九点円の中心	(cos(B - C), cos(C - A), cos(A - B))	gA = a2(b2 + c2) - (b2 - c2)2
X6, K	類似重心 (ルモワーヌ点)	(a, b, c)	(a2, b2, c2)
X7, Ge	ジェルゴンヌ点	(sec2(A/2), sec2(B/2), sec2(C/2))	(tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)) (1/(b+c-a), 1/(c+a-b), 1/(a+b-c))
X8, Na	ナーゲル点	(csc2(A/2), csc2(B/2), csc2(C/2))	(cot(A/2), cot(B/2), cot(C/2)) (b+c-a, c+a-b, a+b-c)
X9, M	ミッテンプンクト	(b+c-a,c+a-b,a+b-c)	(1+cos(A),1+cos(B),1+cos(C)) (a((b+c)2-a2), b((c+a)2-b2), c((a+b)2-c2))
X10, Sp	シュピーカー点	(bc(b+c), ca(a+b), ab(a+b))	(b+c, c+a, a+b)
X11	フォイエルバッハ点	(1- cos(B - C), 1- cos(C - A), 1- cos(A - B))	gA = (b +c-a)(b-c)2
X12	フォイエルバッハ点の{X1,X5}調和共役	(1+ cos(B - C) ,1+ cos(C - A) ,1+ cos(A - B))	gA =(b+c)2/(b +c-a)
X13	第1フェルマー点	(csc(A + π/3), csc(B + π/3), csc(C + π/3))	gA = a4 - 2(b2 - c2)2 + a2(b2 + c2 + 4√3×△ABC)[註 4]
X14	第2フェルマー点	(csc(A - π/3), csc(B - π/3), csc(C - π/3))	gA = a4 - 2(b2 - c2)2 + a2(b2 + c2 - 4√3×△ABC)[註 4]
X15	第1等力点	(sin(A + π/3), sin(B + π/3), sin(C + π/3))	gA=a2((a2-b2-c2)√3-△ABC )[註 4]
X16	第2等力点	(sin(A - π/3), sin(B - π/3), sin(C - π/3))	gA=a2((a2-b2-c2)√3+△ABC )[註 4]
X17, N	第1ナポレオン点	(sec(A - π/3), sec(B - π/3), sec(C - π/3))	gA = (sin A) hA
X18, N'	第2ナポレオン点	(sec(A + π/3), sec(B + π/3), sec(C + π/3))	gA = (sin A) hA
X19	クローソン点	(tan A, tan B, tan C)	gA=a(b2+c2-a2)
X20, L	ド・ロンシャン点	hA = cos A - cos B cos C	gA = tan B + tan C - tan A
X21	シフラー点	hA = (b+c-a)/(b+c)	gA = sin A /(cos B+cos C)
X22, Ex	エクセター点	hA = a(b4+c4-a4)	gA = a hA
X30	オイラー無限遠点	hA = cos A - 2cos B cos C	gA = (sin A) hA
X39	ブロカール中点	(a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2))	(a2(b2+c2), b2(c2+a2), c2(a2+b2))
X40	ベバン点	hA = cos B +cos C -cos A -1	gA = (sin A) hA
X54	コスニタ点	(sec(B - C), sec(C - A), sec(A - B))	(sin A sec(B - C), sin B sec(C - A), sin C sec(A - B))
X68	プラソロフ点	hA = cos A sec 2A	gA = (b2 + c2 - a2)/(a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2)
X76	第3ブロカール点	(1/a3,1/b3,1/c3)	(1/a2,1/b2,1/c2)
X98	タリ―点	hA = bc/(b4 + c4 - a2b2 - a2c2)	gA = 1/(b4 + c4 - a2b2 - a2c2)
X99	シュタイナー点	hA = bc/(b2 - c2)	gA = 1/(b2 - c2)
X110	キーペルト放物線の焦点	hA = a/(b2 - c2)	gA = sec(B - C)+ sec(C - A)sec(A - B)
X111	パリー点	hA = a/(2a2-b2 - c2)	gA = a hA
X115	キーペルト双曲線の中心	hA = bc(b2 - c2)2	gA = (b2 - c2)2
X125	ジェラベク双曲線の中心	hA = cos A sin2(B - C)	gA = a hA
X173	合同二等辺化線点	hA =tan A/2 + sec A/2	gA = (sin A) hA
X174	イフ合同心	(sec A/2 , sec B/2 , sec C/2)	(sin A/2 , sin B/2 , sin C/2)
X175	第1ソディ点（英語版）	hA = sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) - 1	gA = (sin A) hA
X176	第2ソディ点（英語版）	hA = sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) + 1	gA = (sin A) hA
X179	第1安島-マルファッティ点	(sec4(A/4), sec4(B/4), sec4(C/4))	(sin A sec4(A/4), sin B sec4(B/4), sin C sec4(C/4))
X180	第2安島-マルファッティ点	hA = 1/t(B, C, A) + 1/t(C, B, A) - 1/t(A, B, C), 但し、t(A, B, C) = 1 + 2(sec(A/4) cos(B/4) cos(C/4))2	gA = (sin A) hA
X181	アポロニウス点	hA = a(b+c)2/(b+c-a)	gA = a hA
X182	ブロカール円の中心	(cos(A- ω) , cos(B - ω) , cos(C -ω))[註 5]	gA = (sin A) hA
X192	合同辺平行線点	bc(ca + ab - bc) , ca(ab + bc - ca) , ab(bc + ca - ab)	ca + ab - bc ,ab + bc - ca ,bc + ca - ab
X351	パリー円の中心	hA = a(b2 - c2)(b2 + c2 - 2a2)	gA = a hA
X354	ヴァイル点	hA = (b - c)2 - ab - ac	gA = a hA
X355	フールマン円の中心	hA =  a cos A - (b + c)cos(B - C)	gA = a hA
X356	第一モーリー三角形の中心	hA = cos A/3 + 2 cos B/3 cos C/3	gA = (sin A) hA
X357	第二モーリー中心	sec A/3 , sec B/3 , sec C/3	gA = (sin A) hA
X359	ホフスタッター1点	hA = a/A	gA = a hA
X360	ホフスタッター0点	hA = A/a	gA = a hA
X369	第1周長三等分点（英語版）	hA =bc(r - c + a)(r - a + b) ただしrは2t3 - 3(a + b + c)t2 + (a2 + b2 + c2 + 8bc + 8ca + 8ab)t - (cb2 + ac2 + ba2 + 5bc2 + 5ca2 + 5ab2 + 9abc)=0の実根	gA = a hA
X389	六点円の中心	hA = cos A - cos 2A cos(B - C)	gA = (sin A) hA
X399	パリー鏡映点	hA = 5 cos A - 4 cos B cos C - 8 sin B sin C cos2A	gA = (sin A) hA
X402	ゴッサード配景中心	hA =(2a4 - a2b2 - b4 - a2c2 + 2b2c2 - c4)(a8 - a6b2 - 2a4b4 + 3a2b6 - b8 - a6c2 + 5a4b2c2 - 3a2b4c2 - b6c2 - 2a4c4 - 3a2b2c4 + 4b4c4 + 3a2c6 - b2c6 - c8)	gA = a hA
X481	第一エプシュタイン点	hA = 2sec(A/2)cos(B/2)cos(C/2)-1	gA = (sin A) hA
X482	第二エプシュタイン点	hA = 2sec(A/2)cos(B/2)cos(C/2)+1	gA = (sin A) hA
X485	外ベクタン点	sec(A - π/4) , sec(B - π/4) , sec(C -π/4)	gA = (sin A) hA
X486	内ベクタン点	sec(A + π/4) , sec(B + π/4) , sec(C + π/4)	gA = (sin A) hA
X999	混線内接円の根心	hA =1/(a(a2+ 4bc- b2- c2))	gA = a hA
X1115	シュタイナーの曲率重心	(bc(π - A), ca(π - B), ab(π - C))	((π - A), (π - B), (π - C))
X1116	レスター円の中心	hA = bc(b2-c2)(2(a2-b2)(c2-a2) + 3R2(2a2-b2-c2) - a2(a2+b2+c2) + a4+b4+c4)[註 6]	gA = a hA
X1153	ヴァン・ラモン円の中心	hA = bc(13a2(b2 + c2) + 10b2c2 - 10a4 - 4b4 - 4c4)	gA = a hA
X1323	フレッチャー点	hA = (sec2A/2)(2 cos2A/2 - cos2B/2 - cos2C/2)	gA = (sin A) hA
X1337	第一ヴェルナウ点	hA = a(-2*(-a2+b2+c2)△ABC+√3*(a2-c2+b2)*(a2-b2+c2))*(√3*b2+2△ABC)*(√3*c2+2△ABC)	gA = a hA
X1338	第ニヴェルナウ点	hA = a(-2*(-a2+b2+c2)△ABC+√3*(a2-c2+b2)*(a2-b2+c2))*(√3*b2-2△ABC)*(√3*c2-2△ABC)	gA = a hA
X1371	第一リグビー点	hA = 1 + 8(△ABC)/(3a(b + c - a))	gA = a hA
X1372	第二リグビー点	hA = 1 - 8(△ABC)/(3a(b + c - a))	gA = a hA
X1373	第一グリフィス点	hA = 1 + 8(△ABC)/(a(b + c - a))	gA = a hA
X1374	第二グリフィス点	hA = 1 - 8(△ABC)/(a(b + c - a))	gA = a hA
X8142	GEOS円の中心	hA = a2cot A/(2△ABC)+cot Bcot C -a(b+c-a)/(2(a-b)(a-c))	gA = (sin A) hA

また、（厳密な意味で）三角形の心ではないが重要な点の座標を以下に挙げる:

記号[註 2]	名称	三線座標	重心座標
A B C	頂点	(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)	(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
IA IB IC	傍心	(-1, 1, 1) (1, -1, 1) (1, 1, -1)	(-a, b, c) (a, -b, c) (a, b, -c)
P1 U1	第1ブロカール点 第2ブロカール点	(c/b, a/c, b/a) (b/c, c/a, a/b)	(ac/b, ba/c, cb/a) (ab/c, bc/a, ca/b)

1. 各座標は、比が意味を持つ事、および、角A, B, Cと辺の長さa, b, cは互換であることから、表示は一意的でない。表中の座標の表記は一例である。
2. 記号は主に Encyclopedia of Triangle Centers に従う。
3. 心の三線座標・重心座標は、その対称性から triangle center function h(a, b, c) = (1/a) g(a, b, c) が存在して、三線座標 (h(a, b, c), h(b, c, a), h(c, a, b)), 重心座標 (g(a, b, c), g(b, c, a), g(c, a, b)) と書ける。
4. △ABC は三角形の面積であり、△ABC = (1/4)√[(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)]
5. ωはブロカール角である。
6. Rは外接円の半径である。