ジェフィメンコ方程式は、遅延ポテンシャル 
から導くことができる。ここに、
と 
はポテンシャル形式のマクスウェル方程式から導出され[7][8]、以下のように与えられる[5][7] 。
ジェフィメンコ方程式は、上記の遅延ポテンシャル に、電場、磁場の定義式
と、
を考慮することで、導出される。
遅延ポテンシャルからの導出
ジェフィメンコ方程式は、遅延ポテンシャル から導出される。その過程を以下説明する。
電磁スカラーポテンシャル の勾配ベクトル場は、次式である：
![{\displaystyle \nabla \phi ({\boldsymbol {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\nabla \left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\mathfrak {R}}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\left[{\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\mathfrak {R}}}+\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbb58fc89f334c16fa14a3aa20967c5ed74b5c2)
ここで、
は、以下の式で定まる実数である。
また、電荷密度 
の全微分は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\mathrm {d} {t}_{-}\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left({\frac {\partial {t}_{-}}{\partial t}}\mathrm {d} t+{\frac {\partial {t}_{-}}{\partial {\mathfrak {R}}}}\mathrm {d} {\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left(\mathrm {d} t-{\frac {1}{c}}\mathrm {d} {\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left[\mathrm {d} t-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}})\right]\\\end{aligned}}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58be13968dbb1491eee40d02ac31392f3cdede9)
で与えられる。ここで、
は、
に関する勾配微分作用素を意味する。今、
に注意すると、電荷密度 の勾配ベクトル場は、
となる。ここで、
を意味する。また、
とする。
以上から、 の勾配ベクトル場は、
![{\displaystyle \nabla \phi ({\boldsymbol {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9af1583914768efe31dd8a43973b77099c34f8f)
となる。同様に、 についても
が成り立つ。
![{\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\int }_{\boldsymbol {V}}\left[\left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right)({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})-{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f80c68449a871224bf3fbecc56cf5e14440629f)
![{\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\boldsymbol {V}}\left[{\frac {{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right]\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ed8441762f38f50f03c9feb5f9ae74ac7793f6)
![{\displaystyle \nabla \phi ({\boldsymbol {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\nabla \left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\mathfrak {R}}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\left[{\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\mathfrak {R}}}+\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbb58fc89f334c16fa14a3aa20967c5ed74b5c2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\mathrm {d} {t}_{-}\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left({\frac {\partial {t}_{-}}{\partial t}}\mathrm {d} t+{\frac {\partial {t}_{-}}{\partial {\mathfrak {R}}}}\mathrm {d} {\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left(\mathrm {d} t-{\frac {1}{c}}\mathrm {d} {\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left[\mathrm {d} t-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}})\right]\\\end{aligned}}\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58be13968dbb1491eee40d02ac31392f3cdede9)
![{\displaystyle \nabla \phi ({\boldsymbol {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9af1583914768efe31dd8a43973b77099c34f8f)
