ミケルの定理

ミケルの定理（みけるのていり、英語: Miquel's theorem）はフランスの高校教師であるオーギュスト・ミケルの名を冠する幾何学の諸定理である^[1]。一般にミケルの定理と言えば、次の定理を指す。

三角形の3辺またはその延長（英語版）に点を一つずつとる。うち2点と、その間の三角形の頂点を通る円は、一点で交わる。

他のミケルの定理と区別して、ミケルの三角形定理とも呼ばれる^[2]。ミケルの発見した諸定理は、ジョゼフ・リウヴィルのJournal de Mathématiques Pures et Appliquées によって出版された。

厳密にいうと、ある $△ ABC$ について、直線 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $A', B', C'$ をとり、 $△ A'B'C, △ B'C'A, △ C'A'B$ の外接円を描く。3つのミケル円は一点で交わる。さらに3つの角 $∠ MA'C, ∠ MB'A, ∠ MC'B$ は等しくまた、 $∠ MA'B, ∠ MB'C, ∠ MC'A$ も等しい^[3]^[4]。

この定理は、内接四角形の角の性質と有向角を用いることで示すことができる。円 $A'B'C, AB'C'$ の交点 $M\neq B'$ について $\angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B$ と角度追跡することにより $BA'MC'$ の共円が示されてミケルの定理を得る。

ミケル点の三線座標

要約

視点

$A', B', C'$ の $BC, CA, AB$ に対するfractional distances（線分の長さを1とした時の、線分の始点からの距離）をそれぞれ $d a, d b, d c$ 、線分 $BC, CA, AB$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ としてそのミケル点の三線座標 $(x, y, z)$ は以下の式で表される。

x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)

y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)

z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),

ただし $d' a = 1 - d a, d' b = 1 - d b, d' c = 1 - d c$ である。

$d a = d b = d c =1/2$ である場合、ミケル点は外心 $(cos α : cos β : cos γ)$ になる。

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ミケルの定理の逆

ミケルの定理の逆は次のような定理である。点 $M$ を通る3円について、1つの円上に点 $A$ をとり、2つ目の円との $M$ でないほうの交点の一つを $C'$ として、直線 $AC'$ と2つ目の円の $C'$ でない方の交点を $B$ とする。同様に、3つ目の円に対して $B$ から $A',C$ をつくる。このとき点 $A,C,B'$ は共線であり、 $△ ABC$ の辺上に $A', B', C'$ が存在する。

ミケルの四辺形定理

完全四辺形（英語版）の辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる^[8]。これをミケルの四辺形定理またはミケルとシュタイナーの四辺形定理（Miquel and Steiner's Quadrilateral Theorem）という。また、この共点を四辺形のミケル点という。

この定理は、1827,1828年にヤコブ・シュタイナーによってジョセフ・ジェルゴンヌの出版物（Annales de Gergonne）で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた^[8]^[9]。

ミケルの五点円定理

凸な五角形 $ABCDE$ について、その辺を延長し星形五角形 $FGHIK$ をつくる。5つの円 $CFD, DGE, EHA, AIB, BKC$ の、隣り合う円の元の五角形の頂点でない方の交点は共円である^[10]。これをミケルの五点円定理（Miquel's pentagon theorem）という。この定理の逆として、五円定理が知られている。

ミケルの六円定理

円上に四点 $A,B,C,D$ をとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これをミケルの六円定理（Miquel's six circle theorem）または六円定理（six circles theorem）、四円定理（four circles theorem）という^[11]。ただし、六円定理は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである^[12]。 David G. Wellsはこの定理もMiquel's theoremと呼んでいる^[13]。

ミケルの定理

Pivot theorem

ミケル点の三線座標