R 3 上の回転軸を表す単位ベクトル n = t [nx ny nz ] , 右手の法則 に基づく回転角度 θ に対して、ロドリゲスの回転公式は次の様に与えられる。
R
n
(
θ
)
=
e
θ
K
(
n
)
=
E
+
(
sin
θ
)
K
(
n
)
+
(
1
−
cos
θ
)
K
2
(
n
)
=
[
n
x
2
(
1
−
cos
θ
)
+
cos
θ
n
x
n
y
(
1
−
cos
θ
)
−
n
z
sin
θ
n
z
n
x
(
1
−
cos
θ
)
+
n
y
sin
θ
n
x
n
y
(
1
−
cos
θ
)
+
n
z
sin
θ
n
y
2
(
1
−
cos
θ
)
+
cos
θ
n
y
n
z
(
1
−
cos
θ
)
−
n
x
sin
θ
n
z
n
x
(
1
−
cos
θ
)
−
n
y
sin
θ
n
y
n
z
(
1
−
cos
θ
)
+
n
x
sin
θ
n
z
2
(
1
−
cos
θ
)
+
cos
θ
]
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\boldsymbol {n}}(\theta )&=e^{\theta K({\boldsymbol {n}})}\\&=E+(\sin \theta )K({\boldsymbol {n}})+(1-\cos \theta )K^{2}({\boldsymbol {n}})\\&={\begin{bmatrix}n_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)-n_{z}\sin \theta &n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)+n_{y}\sin \theta \\n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)+n_{z}\sin \theta &n_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)-n_{x}\sin \theta \\n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)-n_{y}\sin \theta &n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)+n_{x}\sin \theta &n_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
ここで E は3次単位行列 であり、
K
(
n
)
=
[
0
−
n
z
n
y
n
z
0
−
n
x
−
n
y
n
x
0
]
{\displaystyle \textstyle K({\boldsymbol {n}})={\begin{bmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0\end{bmatrix}}}
は n との外積に対応する交代行列 (歪対称行列、或いは反対称行列とも呼ばれる)である。
また、単位軸ベクトル n を n = t [n 1 n 2 n 3 ] と表した場合、上記の行列 R n (θ ) の (i , j ) 成分はクロネッカーのデルタ 及び符号関数 を用いて以下のように表すことも出来る。
n
i
n
j
(
1
−
cos
θ
)
+
δ
i
j
cos
θ
+
{
sgn
(
i
−
j
)
}
[
∑
k
=
1
3
sgn
{
(
i
−
k
)
(
j
−
k
)
}
n
k
]
sin
θ
{\displaystyle \textstyle n_{i}n_{j}(1-\cos \theta )+\delta _{ij}\cos \theta +\{\operatorname {sgn}(i-j)\}\left[\sum _{k=1}^{3}\operatorname {sgn}\{(i-k)(j-k)\}n_{k}\right]\sin \theta }
なお、上記の添え字 k は結局、集合 {1, 2, 3} から集合 {i , j } を取り除いた残り1つの元 に当たるもののみが残るから、差集合 の考え方を用いて以下のように表しても良い。
n
i
n
j
(
1
−
cos
θ
)
+
δ
i
j
cos
θ
+
{
sgn
(
j
−
i
)
}
(
−
1
)
i
+
j
n
k
sin
θ
(
k
∈
{
1
,
2
,
3
}
∖
{
i
,
j
}
)
{\displaystyle \textstyle n_{i}n_{j}(1-\cos \theta )+\delta _{ij}\cos \theta +\{\operatorname {sgn}(j-i)\}(-1)^{i+j}n_{k}\sin \theta \qquad (k\in \{1,2,3\}\setminus \{i,j\})}
他の表現として、回転面を表すゼロでないベクトル a , b に対する軸ベクトルとしてクロス積 a × b を用いることができる。このとき、回転角 θ を a から離れた、もしくは b に向けた角として表せる。2つのベクトルがなす角を α とすると、θ と同様の意味を α に与えることができる(ただし2つは必ずしも一致しない)。このとき、単位軸ベクトル n は次のように書ける。
n
=
a
×
b
‖
a
×
b
‖
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\frac {{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}}{\|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|}}}
もし回転面を表すベクトルが事前に分かっている場合は、この形式を用いる。物理学 における例として、トーマスの歳差運動 が挙げられる。