一般化タクシー数

一般化タクシー数（いっぱんかタクシーすう、generalized taxicab number）Taxicab(k, j, n) とは、k 乗数の和 j 個で n 通りに表される最小の正の整数と定義される。k = 3 かつ j = 2 である場合は n 番目のタクシー数 Ta(n) となる。例えば

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Taxicab} (1,2,2)&=4=1+3=2+2,\\\mathrm {Taxicab} (1,2,3)&=6=1+5=2+4=3+3,\\\mathrm {Taxicab} (2,2,2)&=50=1^{2}+7^{2}=5^{2}+5^{2},\\\mathrm {Taxicab} (2,2,3)&=325=1^{2}+18^{2}=6^{2}+17^{2}=10^{2}+15^{2},\\\mathrm {Taxicab} (3,2,2)&=\mathrm {Ta} (2)=1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}$

である。最後の例がシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのタクシー数である。レオンハルト・オイラーによって以下のことが示されている。

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (4,2,2)=635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}.}$

しかし任意の整数 k ≥ 5 に対して、Taxicab(k, 2, 2) は知られていない。すなわち、2個の k (≥ 5) 乗数の和として2通りに表される正の整数は今のところ知られていない^[1]。2つの4乗数の和として3通りにあらわされる数が存在するかどうかも知られていない。Zajtaは4乗数の差として3通りの方法であらわせる例

${\displaystyle 25900232113758000049920=401168^{4}-17228^{4}=415137^{4}-248289^{4}=421296^{4}-273588^{4}}$

を発見した(Zajta 1983)。

例

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (1,2,n)=2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=\cdots =n+n}$

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (2,3,2)=27=1^{2}+1^{2}+5^{2}=3^{2}+3^{2}+3^{2}}$

k	j	Taxicab(k, j,1)	Taxicab(k, j,2)	Taxicab(k, j,3)	Taxicab(k, j,4)	OEIS
2	2	2	50	325	1105	A016032
2	3	3	27	54	129	A025414
2	4	4	31	28	52	A025416
3	2	2	1729	87539319	6963472309248	A011541
3	3	3	251	5104	13896	A025418
3	4	4	219	1225	1979	A025420
4	2	2	635318657			A230562
4	3	3	2673

Taxicab(k,2,2)はA016078をTaxicab(k,3,2)はA230563を参照。