中心線 (幾何学)

幾何学において, 中心線^{[定訳なし]}（英: Central lines）とは三角形に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のクラーク・キンバーリング（英語版）の論文でまとめられた^[1][2]。

定義

△ABC に対する三線座標x : y : zを用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。 $${\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}$$ ここで三線座標 $${\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)}$$ は三角形の中心である^[3][4]。

三線極線

三角形の中心と中心線の幾何的な結び付けの一つに三線極線（trilinear polars）と等角共役がある。

三線座標で${\displaystyle X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)}$ とし $${\displaystyle {\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0}$$ の表す直線はXの三線極線と呼ばれる^[2][5]。 $${\displaystyle Y={\frac {1}{u(a,b,c)}}:{\frac {1}{v(a,b,c)}}:{\frac {1}{w(a,b,c)}}}$$ の表す点はXの等角共役点と呼ばれる。

したがって、次の式で与えられる中心線は点${\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)}$の等角共役点の三線極線である。 $${\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}$$

中心線の作図

△ABCと点Xについて、中心線は以下の様に定義される。

• YをXの等角共役点とする。AY, BY, CYは直線 AX, BX, CX をA, B, Cの角の二等分線で鏡映した線(等角共役線)である。
• △ABCと点Yに対するチェバ線AY, BY, CYとBC, CA, ABの交点A', B', C'でチェバ三角形△A'B'C' を作る。
• △ABCと△A'B'C' はYを中心とし配景なのでデザルグの定理が成り立つ。
• この配景の軸DEFをYの三線極線、Xの中心線と言う。

著名な中心線

クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」における点X_nに対する中心線はL_nと表記される。

△ABC とその傍心三角形の配景の軸、反垂軸

内心の中心線:反垂軸

内心 X₁ = 1 : 1 : 1 (またはI )の中心線は、反垂軸（Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。 $${\displaystyle x+y+z=0.}$$

• △ABCの内心の等角共役点は内心自身である。したがって、△ABCとその内心三角形（incentral triangle、内心のチェバ三角形）の配景の軸は反垂軸である。
• 反垂軸は△ABC と傍心三角形△I₁I₂I₃の配景の軸である^[6]。
• △ABCの傍接円の△ABCの辺でない共通接線の成す三角形は外接線三角形（extangents triangle）と呼ばれる。 △ABCと外接線三角形の配景の軸は反垂軸である。

重心の中心線:ルモワーヌ軸

△ABCの重心X₂（またはG）の三線座標は以下の様に与えられる。 $${\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}$$ 重心の中心線は以下の式で表される。 $${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.}$$ この直線はルモワーヌ軸、ルモワーヌ線（Lemoine axis, Lemoine line）と呼ばれる。

• X₂の等角共役点である類似重心X₆（またはK）の三線座標はa : b : cである。ルモワーヌ軸は類似重心の三線極線である。
• △ABCの頂点の外接円に対する接線の成す三角形を接線三角形△T_AT_BT_Cという。 △ABC と外接三角形の配景の軸はルモワーヌ軸である。

外心の中心線:垂軸

外心X₃（またはO）の三線座標は以下の様に与えられる。 $${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$$ 外心の中心線は以下の式で表される。 $${\displaystyle x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.}$$ この直線を垂軸（Orthic axis）という^[7]。

• 外心X₃の等角共役点は垂心X₄（またはH）の三線座標はsec A : sec B : sec Cである。垂心の三線極線は垂軸で、これはオイラー線と垂直に交わる^[8]。△ABCと垂足三角形△H_AH_BH_Cの配景の軸は垂軸である。

垂心の中心線

垂心 X₄（またはH）の三線座標は以下の様に与えられる。 $${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C}$$ 垂心の中心線は以下の式で表される。 $${\displaystyle x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.}$$

• 外心の三線極線は垂心の中心線である。

九点円の中心の中心線

九点円の中心X₅（またはN）の三線座標は以下の式で与えられる。 $${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).}$$ X₅の中心線は以下の式で表される。 $${\displaystyle x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0.}$$

• X₅の等角共役点はコスニタ点X₅₄である。したがってコスニタ点の三線極線はX₅の中心線である^[9][10]。

類似重心の中心線: 無限遠直線

類似重心 X₆（または K）の三線座標は以下の式で与えられる。 $${\displaystyle a:b:c}$$ 類似重心の中心線は以下の式で表される。 $${\displaystyle ax+by+cz=0.}$$

• この直線は△ABCの無限遠直線（line at infinity）と呼ばれる。
• 類似重心の等角共役点は重心である。したがって重心の三線極線は△ABCの無限遠線である。 △ABCとその中点三角形の配景の軸は無限遠線である。

その他の有名な中心線

オイラー線

△ABCのオイラー線とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。 $${\displaystyle x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.}$$ これはX₆₄₇の中心線である。

ナーゲル線

△ABCのナーゲル線（Nagel line）とは内心、重心、シュピーカー中心、ナーゲル点などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。 $${\displaystyle xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.}$$ これはX₆₄₉の中心線である。

ブロカール軸

△ABCのブロカール軸（Brocard axis）とは外心と類似重心、ブロカール円の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。 $${\displaystyle x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0.}$$ これはX₅₂₃の中心線である。