位相空間

物理学における位相空間（Phase space）については「位相空間 (物理学)」をご覧ください。

数学における位相空間（いそうくうかん、英: topological space）とは、集合に位相（英: topology）という構造を付加したものであり、この構造はその集合上に収束性の概念を定義するのに必要十分である^{[注 1]}。

位相空間の諸性質を研究する数学の分野を位相空間論と呼ぶ。

概要

位相空間は、前述のように集合に「位相」という構造を付け加えたもので、この構造により、例えば以下の概念が定義可能となる

• 部分集合の内部、外部、境界
• 点の近傍
• 収束性^{[注 1]}
• 開集合、閉集合、閉包

実はこれらの概念はいわば「同値」で、これらの概念のうちいずれか一つを定式化すれば、残りの概念はそこから定義できる事が知られている。したがって集合上の位相構造は、これらのうちいずれか１つを定式化する事により定義できる。そこで学部レベルの多くの教科書では、数学的に扱いやすい開集合の概念をもとに位相構造を定義するものが多い。

その他にも

• 位相空間から位相空間への写像の連続性
• 連結性

といった概念も位相構造を用いて定義できる。

上述した概念はいずれも元々距離空間のような幾何学的な対象に対して定義されたものだが、距離が定義されていなくても位相構造さえ定義できれば定式化できる。これにより、位相空間の概念は、幾何学はもちろん解析学や代数学でも応用されており、位相空間論はこうした数学の諸分野の研究の基礎を与える。位相空間の概念の利点の一つは、解析学や代数学などの研究対象に幾何学的な直観を与えることにある。

このような観点からみたとき、位相空間論の目標の一つは、ユークリッド空間など幾何学の対象に対して成り立つ諸性質を解析学などにも一般化することにある。従って学部レベルで学ぶ位相空間論の性質の多くは、ユークリッド空間などの幾何学的な対象では自明に成り立つ(例えば各種分離公理や可算公理)。

位相空間論ではこうした幾何学的な性質をいかに一般の空間へと拡張するかが問われるので、位相空間の概念自身は非常に弱く、かつ抽象的に定義される。しかしその分個別の用途では必要な性質が満たされないこともあり、例えば位相空間上では収束の一意性は保証されない。そこで必要に応じて、位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものが研究対象になることも多い。前述した収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。学部レベルの位相空間論の目標の一つは、こうしたプラスアルファの性質の代表的なものを学ぶ事にある。

距離空間${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{p})}$の原点の1-近傍をp=2（上の図）、p=1（中央の図）、p=∞（下の図）に対して図示したもの。これらはそれぞれユークリッド距離、マンハッタン距離、チェビシェフ距離と呼ばれる。

位相空間と距離空間

位相空間となる代表的な空間としては、ユークリッド空間をはじめとした距離空間がある。距離空間は必ず位相空間になるが、逆は必ずしも正しくない。すなわち、距離構造は位相的構造よりも遥かに多くの情報を持った強い概念であり、距離空間としては異なっても位相空間としては同一の空間になることもある。

例えばp≧1を固定して実数空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上にℓ^p距離

${\displaystyle d_{p}(x,y)={\sqrt[{p}]{(x_{1}-y_{1})^{p}+\cdots (x_{n}-y_{n})^{p}}}}$

を入れた距離空間${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$を考えてみると、ε-N論法やε-δ論法による極限の議論で用いるε-近傍はpに依存して異なるにもかかわらず、収束の有無や収束先の点はpによらず一致する。

より一般に、ユークリッド空間をゴム膜のように連続変形したものは、元のユークリッド空間とは距離空間としては異なるが、位相空間としては同一であり、収束するか否かという性質も互いに保たれて不変である。

以上のように、連続性や収束性といった概念を考えたり、連続変形を対象とした研究を行ったりするときには、距離空間の概念は柔軟性に欠けるところがあり、位相空間というより弱い概念を考える積極的動機の一つとなる。

他にも例えば多様体を定義する際には複数の距離空間(ユークリッド空間の開集合)を連続写像で「張り合わせる」(商空間)が、張り合わせに際して元の空間の距離構造を壊してしまうので、元の空間を距離空間とみなすより、位相空間とみなす方が自然である。

応用分野

コーヒーカップからドーナツ（トーラス）への連続変形（同相写像の一種）とその逆

位相空間の概念の代表的な応用分野に位相幾何学がある。これは曲面をはじめとした幾何学的な空間（主に有限次元の多様体や単体的複体）の位相空間としての性質を探る分野である。前述のようにゴム膜のように連続変形しても位相空間としての構造は変わらないので、球面と楕円体は同じ空間であるが、トーラスは球面とは異なる位相空間である事が知られている。位相幾何学では、位相空間としての構造に着目して空間を分類したり、分類に必要な不変量(位相不変量)を定義したりする。

位相空間の概念は代数学や解析学でも有益である。例えば無限次元ベクトル空間を扱う関数解析学の理論を見通しよく展開するにはベクトル空間に位相を入れて位相空間の一般論を用いることが必須であるし（位相線型空間）、代数幾何学で用いられるザリスキ位相は、通常、距離から定めることのできないような位相である。

また、位相空間としての構造はその上で定義された様々な概念の制約条件として登場することがある。例えばリーマン面上の有理型関数のなす空間の次元は、リーマン面の位相構造によって制限を受ける(リーマン・ロッホの定理)。また三次元以上の二つの閉じた双曲多様体が距離空間として同型である必要十分条件は、位相空間として同型な事である(モストウの剛性定理)。

定義

位相空間にはいくつかの同値な定義がある。

開集合を使った特徴づけ

位相空間の定式化に必要な概念である開集合とは、直観的には位相空間の「縁を含まない」「開いた」部分集合である。

ただし、上では分かりやすさを優先して「縁を含まない」「開いた」と説明したが、これらの言葉を厳密に定義しようとすると位相空間の概念が必要である。そのため、これらを使って開集合を定義するのは循環論法になる。また、ここでいう「縁」(=境界)は通常の直観と乖離している場合もあり、例えば実数直線上の有理数の集合の境界は実数全体である。

そこで位相空間の定義では、「縁を含まない」とか「開いた」といった概念に頼ることなく、非常に抽象的な方法で開集合の概念を定式化する。

位相空間を定式化するのに必要なのは、どれが開集合であるのかを弁別するために開集合全体の集合 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ を指定する事と、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ が定められた性質を満たすことだけである。

位相空間の厳密な定義は下記のとおりである。

集合 ${\displaystyle X}$ の部分集合族（冪集合の部分集合）${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq 2^{X}}$ が下記の性質を全て満たすとき、${\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {O}}\right)}$ を位相空間という。${\displaystyle X}$ を台集合といい、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ を開集合系という。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ の元を ${\displaystyle X}$ の開集合という。

• 空集合と全体集合は開集合である。

${\displaystyle \varnothing ,\,X\in {\mathcal {O}}}$

• 任意数個（無限個でもよい）の開集合の和集合もまた開集合である。

${\displaystyle \forall \ \left\{O_{\lambda }\right\}_{\lambda \,\in \,\varLambda }\subseteq {\mathcal {O}}:{\begin{aligned}\bigcup _{\lambda \,\in \,\varLambda }^{}\end{aligned}}\,O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}}$

• 任意の二つの開集合の共通部分もまた開集合である。（そのため、有限個の開集合の共通部分もまた開集合である。なお、無限個の開集合の共通部分もまた開集合であるとは限らない。）

${\displaystyle \forall \ O_{1},\,O_{2}\in {\mathcal {O}}:O_{1}\cap O_{2}\in {\mathcal {O}}}$

集合 {1, 2, 3} における、開集合の公理を満たす部分集合の族や満たさない族の例。上二段の例はそれぞれ開集合の公理を満たすが、最下段の例は、左側は {2} と {3} の和集合である {2, 3} が入っていないため、右側は {1, 2} と {2, 3} の共通部分である {2} が入っていないため、どちらも開集合の公理を満たさない。

本節では、これらの性質を天下り的に与えるにとどめ、後の章で距離空間で具体的な位相に関し、この定義について論ずる。

開集合系 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ を一つ定める事で、集合 ${\displaystyle X}$ が位相空間になるので、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ を ${\displaystyle X}$ 上の位相（構造）という。

紛れがなければ開集合系 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ を省略し、位相空間を ${\displaystyle X}$ と言い表す。

また位相空間 ${\displaystyle X}$ の元を点と呼ぶ。

なお、集合算に関する空積および空和はそれぞれ全体集合と空集合になるので、${\displaystyle {\mathcal {O}}\not =\varnothing }$ と仮定すれば、上述の定義における最初の条件を課さなくてもよい。

閉集合を使った特徴づけ

距離空間の位相構造

すでに述べたように位相空間の概念を定義する主な動機の一つは、距離空間上で定義される諸概念をより一般の空間でも定義する事である。この意味において距離空間は最も基本的な位相空間の例であるので、本節では距離構造が位相構造を定める事を見る：

定理・定義 (距離から定まる位相) ―  (X ,d )を距離空間とし、実数 ε > 0 と x ∈ X に対し、xのε-近傍（ε-neighborhood）${\displaystyle B_{\varepsilon }(x)}$を

${\displaystyle B_{\varepsilon }(x):=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}}$

と定義するとき、

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}=\{O\subset X\mid \forall x\in O\exists \varepsilon >0~~:~~B_{\varepsilon }(x)\subset O\}}$

は開集合系の公理を満たす。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$を距離 d により定まる X の開集合系、もしくはd により定まる X の位相構造といい、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{d})}$を(X ,d )により定まる位相空間という。

xのε-近傍の事を、ε-球（ε-ball）、ε-開球（ε-open ball）、あるいは単に開球（open ball）ともいう。

上記のように定義した${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$が位相の定義を満たす事を示すために、まず開集合を別の形で書き換える：

命題 (距離から定まる開集合の特徴づけ) ― 距離空間(X ,d )が定める位相を${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$とし、OをXの部分集合とする。このとき、以下の３条件は同値である：

1. Oは${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$の開集合である
2. 任意のx ∈ Oに対し、ある${\displaystyle \varepsilon _{x}>0}$が存在し、${\displaystyle O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)}$が成立する。
3. Oは（有限または無限個の）開球の和集合として書ける。すなわち族${\displaystyle \{B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }\subset X}$が存在し、${\displaystyle O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })}$が成立する。

証明（距離から定まる開集合の特徴づけ）

(1⇒2)：任意の開集合Oに対し、開集合の定義より開集合Oの各点xに対し、${\displaystyle B_{\varepsilon _{x}}(x)\subset O}$を満たす${\displaystyle \varepsilon _{x}>0}$が存在するので、

${\displaystyle O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)}$

と書ける。

（2⇒3）：自明

（3⇒1）：${\displaystyle O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })}$と書ければ、任意のx ∈ Oに対し、${\displaystyle x\in O\iff \exists x_{\lambda }\in \Lambda ~:~x\in B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })}$なので、${\displaystyle \delta _{x}:=\varepsilon _{\lambda }-d(x,x_{\lambda })}$とすれば、${\displaystyle \delta _{x}>0}$であり、${\displaystyle B_{\delta _{x}}(x)\subset B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\subset \bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })=O}$である。x ∈ OIの任意性から、Oは${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$の開集合である。

ベクトル空間の場合

本節では（実または複素）ベクトル空間における距離と位相の関係を述べる。本節の内容はベクトル空間が有限次元の場合は幾何学、無限次元の場合は解析学に応用がある。

ベクトル空間では、ノルムの概念を定義する事ができ、ベクトル空間上の距離としてはノルムから定まるものを考える事が多い。本節ではまずノルムの定義を振り返り、ノルムから定まる距離を定義し、その距離から定まる位相の性質を見る。

ノルムの定義

まずノルムとは何かを簡単に説明する：

定義 (ノルム) ―  Kを${\displaystyle \mathbb {R} }$もしくは${\displaystyle \mathbb {C} }$とするとき、K上ベクトル空間Vのノルムとは写像

${\displaystyle \|\cdot \|~:~V\to K}$

で以下の3性質を満たすものの事である。ここでx、yはVの元でαはKの元である：

1. ‖ x ‖ = 0 ⇔ x = 0
2. ‖ ax ‖ = |a|‖ x ‖
3. ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上の代表的なノルムとして、p≧1に対するℓ^pノルム

${\displaystyle \|v\|_{p}=(|v_{1}|^{p}+\cdots +|v_{n}|^{p})^{1/p}}$

が知られている。ここでv=(v₁,...,v_n)である^{[注 2]}。

ノルムから定まる距離と位相

V上にノルム‖ ・ ‖が1つ与えられると、

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

により、V上の距離が定まる。

このようにノルムから距離が定まり、距離から位相が定まるが、ノルムが「同値」であるとそこから定まる位相が同一になる事が知られている：

定義・定理 (ノルムの同値性と位相) ―  Vを（実もしくは複素）ベクトル空間とし、${\displaystyle \|\cdot \|}$と${\displaystyle \|\cdot \|'}$をV上定義された2つのノルムとする。${\displaystyle \|\cdot \|}$、${\displaystyle \|\cdot \|'}$が

${\displaystyle \exists C_{1},C_{2}>0\forall x\in V~:~C_{1}\|x\|'\leq \|x\|\leq C_{2}\|x\|'}$

を満たすとき、${\displaystyle \|\cdot \|}$、${\displaystyle \|\cdot \|'}$は同値なノルムであるという。

${\displaystyle \|\cdot \|}$、${\displaystyle \|\cdot \|'}$が同値であれば、これらのノルムが定める距離

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$、${\displaystyle d'(x,y)=\|x-y\|'}$

は V上に同一の位相を定める。

有限次元ベクトル空間の場合

Vが有限次元の場合は次の事実が知られている^[1]：

命題 ―  有限次元の（実もしくは複素）ベクトル空間上定義されるノルムは全て同値である。

この事実から、有限次元ベクトル空間の場合は、ノルムのとり方によらず同一の位相構造が定まる事がわかる。この位相を有限次元ベクトル空間上の自然な位相、通常の位相等と呼ぶ。

無限次元ベクトル空間の場合

一方解析学で頻繁に使われる、無限次元のベクトル空間の場合は、同一のベクトル空間上に複数の同値でないノルムが存在し、それらのノルムがそれぞれ異なる位相構造を定める事になる。例えば[0,1]区間から${\displaystyle \mathbf {R} }$への連続写像全体の集合

${\displaystyle C([0,1],\mathbf {R} )=\{f~:~[0,1]\to \mathbf {R} }$, 連続${\displaystyle \}}$

を写像の和と定数倍に関してベクトル空間とみなすと、各${\displaystyle p\geq 1}$対し、L^pノルム

${\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{[0,1]}|f(x)|^{p}\mathrm {d} x}}}$

が定義できるが、これらはpが異なれば異なる位相を定め、実際L^pノルムでは収束するのに別のL^qノルムでは収束しない例を作る事ができる^{[注 2]}。

また無限回微分可能な写像の空間

${\displaystyle C^{\infty }([0,1],\mathbf {R} )=\{f~:~[0,1]\to \mathbf {R} }$, 無限回微分可能${\displaystyle \}}$

にはL^pノルムの一般化であるソボレフノルム

${\displaystyle \|f\|_{k,p}={\sqrt[{p}]{\sum _{\ell =0}^{k}\int _{[0,1]}|f^{(\ell )}(x)|^{p}\mathrm {d} x}}}$

も定義可能であるが^{[注 2]}、これらもk、pが異なれば異なる位相を定める。なお、${\displaystyle \|\cdot \|_{k,\infty }}$の定める位相をC^k-位相と呼び、この位相は位相幾何学で図形の連続変形を扱う際重要な役割を果たす。

終位相、像位相、商位相、直和位相

まず始位相と双対的に終位相を定義する：

定義 (終位相) ―  Xを集合とし、${\displaystyle \{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }}$を位相空間の族とし、写像

${\displaystyle f_{\lambda }~:~Y_{\lambda }\to X}$

の族${\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$を考える。

このとき、全ての${\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$を連続にする最強の位相をXの${\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$終位相（英語版）という。

終位相の特殊な場合として下記のものを定義できる。これらは逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に定義したものである。以下でXは集合である：

名称	定義
像位相	位相空間${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}})}$と写像${\displaystyle f~:~Y\to X}$がXに定める終位相の事。
商位相	${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}})}$ を位相空間とし、「${\displaystyle \sim }$」をY上の同値関係とし、[x]でこの同値関係におけるx ∈ Yの同値類を表すとき、商写像${\displaystyle \pi \colon Y\to Y/{\sim },\;x\mapsto [x]}$が商集合 ${\displaystyle X=Y/{\sim }}$ に定義する像位相の事。
直和位相	${\displaystyle \{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }}$ を位相空間の族とするとき、${\displaystyle X_{\lambda }}$ から集合族 ${\displaystyle \{X_{\tau }\}_{\tau \in \Lambda }}$ の直和への包含写像${\displaystyle \iota _{\lambda }\colon X_{\lambda }\hookrightarrow \coprod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }}$の族 ${\displaystyle \{\iota _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ によって直和 ${\displaystyle \coprod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }}$ に定義される終位相の事。

位相的性質

→詳細は「位相的性質」を参照

位相空間の定義それ自身は可能な限り一般的に定義されているため、個々の応用では位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものを考えることが多い。

本節では、そうしたプラスアルファの性質のうち代表的なものを紹介する。

分離公理

→詳細は「分離公理」を参照

分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。

代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理であり、前述のようにこれは有向点族の収束の一意性と同値である。

X 上の相異なる2点 x、y に対し、x、y の開近傍 U、V があり、${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$である。

相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍

ハウスドルフの分離公理は、直観的には点 x と y が開近傍という位相的な性質を利用して「区別」(separate) できる事を意味している。すなわちX の位相は点の区別が可能なほど細かい事をこの公理は要請している。

他にも下記のような分離公理がある：

位相空間	名前
T0	コルモゴロフ空間
T1	フレシェ空間（到達可能空間）
T2	ハウスドルフ空間
${\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}$	完備ハウスドルフ空間、ウリゾーン空間
T3	正則空間、正則ハウスドルフ空間
${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$	チコノフ空間、完全正則空間
T4	正規ハウスドルフ空間
T5	全部分正規ハウスドルフ空間
T6	完全正規ハウスドルフ空間

連結性

→詳細は「連結空間」を参照

連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」 という性質である。閉区間 [0,1] は連結性をもつ（連結である）が、二つの交わらない閉区間を合併した ${\displaystyle [0,1]\cup [2,3]}$ という位相空間は連結ではない。

コンパクト性

→詳細は「コンパクト空間」を参照

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の有界閉集合は位相空間論的に「性質の良い」空間でXを${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の有界閉集合とすると、例えば以下が成立する事が知られている：

• Xから${\displaystyle \mathbb {R} }$への連続写像は必ず最大値・最小値を持つ
• Xから${\displaystyle \mathbb {R} }$への連続写像は必ず一様連続である
• Xから${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$への単射fが連続なら、逆写像${\displaystyle f^{-1}~:~f(X)\to X}$も連続である。

このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。

ただし、「${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の有界閉集合」という概念自身は、「有界」という距離に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。

そのために用いるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理である。これらの定理はいずれも「${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$においては

1. 有界閉集合である事
2. ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分
3. ハイネ・ボレルの定理の結論部分

の３つは同値となる。しかも上記の２，３はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。

したがって２もしくは３の一方を満たす（同値なので実は２，３の両方を満たす）事をもってコンパクト性を定義する。ただしテクニカルな理由により、上記の２に関しては若干の補正が必要になり、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分における「点列」を「有向点族」に置き換える必要がある。詳細はコンパクト空間を参照。

可算公理と可分

位相空間X において可算公理は、X の位相的な対象(近傍系、開集合)が可算なものから生成されることを意味し、可算公理が成立する空間では、非可算特有の難しさを回避できる場合がある。 可分もこれと類似したモチベーションのもと定義される。

厳密な定義は以下の通りである

第一可算公理	X の任意の点 x に対し、x の近傍系は可算な基本近傍系を持つ
第二可算公理	X の開集合系は可算な開基を持つ
可分	X は稠密な可算部分集合を持つ

性質と例

以下が成立する：

• 第二可算公理を満たす⇒ 第一可算公理を満たし、かつ可分
• 距離空間⇒ 第一可算公理を満たす

しかし距離空間は第二可算公理を満たすとは限らない。 距離空間においては第二可算公理を満たす事と可分な事は同値である。

有限次元のユークリッド空間(あるいはより一般に多様体)は第二可算公理を満たす。(距離化可能なので可分でもある)。

一方、ユークリッド空間の「無限次元版」であるヒルベルト空間は距離空間であるが第二可算公理を満たすとは限らない。

しかし通常は第二可算公理を満たすヒルベルト空間のみを考えることが多く、そのようなヒルベルト空間は全て同型で、しかもそのようなヒルベルト空間にはベクトル空間としての可算基底が存在する事が知られている。

距離化可能性

距離空間は自然に位相空間になるが、では逆に位相空間がどのような条件を満たせば距離空間になるであろうか。

すなわち、位相空間 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$が距離化可能であるとは、X 上の距離 d が(少なくとも一つ)存在し、d がX 上に定める位相が${\displaystyle {\mathcal {O}}}$と一致する事を言う。

学部レベルの教科書には距離化可能性の十分条件であるウリゾーンの距離化可能定理が載っていることが多いが、現在は距離化可能性の必要十分条件である長田＝スミルノフの距離化定理やビングの距離化定理が知られている。