強位相 (極位相)

函数解析学と関連する数学の分野において、強位相（きょういそう、英: strong topology）とは、最も細かい（英語版）極位相、すなわちある双対組上で最大の開集合を伴う位相である。最も粗い（英語版）極位相は弱位相と呼ばれる。

定義

${\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}$ を、実数 ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ あるいは複素数 ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ の体 ${\displaystyle {\mathbb {F} }}$ 上のベクトル空間の双対組とする。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ を、次に述べる意味で ${\displaystyle Y}$ の元によって評価されているすべての部分集合 ${\displaystyle B\subseteq X}$ の系とする。

${\displaystyle \forall y\in Y\qquad \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$

このとき、${\displaystyle Y}$ 上の強位相 ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ は、次の形の半ノルムによって生成される ${\displaystyle Y}$ 上の局所凸位相として定義される。

${\displaystyle \|y\|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$

${\displaystyle X}$ が局所凸空間であるような特別な場合には、（連続）双対空間 ${\displaystyle X'}$（すなわち、すべての連続線型汎函数 ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$ の空間）上の強位相は、強位相 ${\displaystyle \beta (X',X)}$ で定義され、それは ${\displaystyle X}$ 内の有界集合（英語版）の一様収束位相、すなわち次の形状の半ノルムによって生成される ${\displaystyle X'}$ 上の位相と一致する。

${\displaystyle \|f\|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad f\in X'.}$

ただし ${\displaystyle B}$ は ${\displaystyle X}$ 内のすべての有界集合（英語版）の族について考えられる。この位相を備える空間 ${\displaystyle X'}$ は、空間 ${\displaystyle X}$ の強双対空間（strong dual space）と呼ばれ、${\displaystyle X'_{\beta }}$ と記述される。

例

• ${\displaystyle X}$ がノルム線型空間であるなら、強位相を伴うその（連続）双対空間 ${\displaystyle X'}$ は、バナッハ双対空間 ${\displaystyle X'}$、すなわち作用素ノルムによって誘起される位相を伴う空間 ${\displaystyle X'}$ と一致する。逆に、${\displaystyle X}$ 上の ${\displaystyle \beta (X,X')}$-位相は、${\displaystyle X}$ 上のノルムによって誘起される位相と一致する。

性質

• ${\displaystyle X}$ が樽型空間であるなら、その位相は ${\displaystyle X}$ 上の強位相 ${\displaystyle \beta (X,X')}$ や、組 ${\displaystyle (X,X')}$ によって生成される ${\displaystyle X}$ 上のマッキー位相と一致する。

参考文献

• Schaefer, Helmuth H. (1966). Topological vector spaces. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6