慣性モーメント

慣性モーメント（かんせいモーメント、英: moment of inertia）あるいは慣性能率（かんせいのうりつ）、イナーシャ I とは、物体の角運動量 L と角速度 ω との間の関係を示す量である。

古典力学
${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}$ 運動の第2法則
歴史
分野 静力学  · 動力学 / 物理学における動力学  · 運動学  · 応用力学  · 天体力学  · 連続体力学  · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン
表 話 編 歴

慣性モーメント
量記号	I
次元	L2 M
種類	2階テンソル
SI単位	kg m2

定義

質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル ω で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル L は次のように書ける。

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))}$^[1]

ここでm_i は i 番目の質点の質量、r_i は回転軸上の原点との相対座標でありr_iはその大きさである。この式からわかるように、L は ω と向きは必ずしも一致しないが、ω を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をIとすると、

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {\omega }}}$

と表せる。この変換 I は2階のテンソルであり、LとIの各成分は

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}}$

という形に表される^[2]。ここに δ_jk はクロネッカーのデルタ、r_{i, j} はベクトル r_i の j 成分である。I を行列表示すると

${\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}}$

となる。この定義から I は対称テンソルである。この2階のテンソル I を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ^[2]。また、慣性テンソルの対角成分 I_xx、I_yy、I_zz を（それぞれ x、 y、 z 軸に関する）慣性モーメント係数（英: moment of inertia coefficient）と呼び、 I_xy、I_yz、I_zx は 慣性乗積（英: products of inertia）と呼ぶ^[3]。

なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 ρ を用いて

${\displaystyle I_{jk}=\int \rho ({\boldsymbol {x}})\left(|{\boldsymbol {x}}|^{2}\delta _{jk}-x_{j}x_{k}\right)d^{3}x}$

となる^[4]。

ある軸まわりの慣性モーメント

物体をある回転軸まわりに回転させたとき、ωと同じ向きをもつ単位ベクトルnをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}\omega {\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})\omega \equiv I\omega }$

ここで、ω = |ω|は角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー量 ${\displaystyle I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})}$ をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ^[5]。

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 { e₁, e₂, e₃ } を選ぶことで対角化（すなわち I_xy = I_yz = I_zx = 0 と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント { I₁, I₂, I₃ } を主慣性モーメントと呼ぶ^[6]。慣性主軸座標系では角運動量は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}}$

と単純に表すことができる。

計算例

棒の両端の質量

重さの無視できる長さ L の棒の両端に、質量 m 、M の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ a、L - a とする。このとき、中心に対する慣性モーメント I は、

${\displaystyle I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}}$

と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

円板

半径 a 、全質量 M の、一様な密度 ρ = M / πa² をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I={\frac {1}{2}}a^{2}M}$

となる。

これは中心から半径 r 、幅 dr << r のリングの質量 dM を考えると

${\displaystyle \mathrm {d} M=2\pi r\rho \mathrm {d} r}$

より、このリングの慣性モーメント dI が

${\displaystyle \mathrm {d} I=r^{2}\mathrm {d} M=2\pi \rho r^{3}\mathrm {d} r}$

だから

${\displaystyle I=\int _{0}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho \int _{0}^{a}r^{3}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi a^{4}}$

より求めることができる。

リング状円板

円板外半径 a 、くり抜き内半径 b 、全質量 M のリング状円板では、前出の dI を用いて

${\displaystyle I=\int _{b}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho {\frac {1}{4}}(a^{4}-b^{4})={\frac {1}{2}}\pi \rho (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})M}$

となる。

性質

一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。

また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 I_G をとり、軸が重心から距離 h だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント I_h は

${\displaystyle I_{h}=I_{\mathrm {G} }+Mh^{2}}$

となる^[7]。

→詳細は「平行軸の定理」を参照

慣性テンソル I の物体が角速度 ω で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー T は

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{jk}I_{jk}\omega _{j}\omega _{k}}$

と表示できる^[8]。

関連する物理量

回転半径

慣性モーメント I は物体の質量 M に比例するから、

${\displaystyle I=M\kappa ^{2}}$

と書くことができる。この κ は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる^[7]。

はずみ車効果

慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径 D を用いて定義されるはずみ車効果 GD² がある。

• 重力単位系では、剛体の重量 G[kgf] と直径 D[m] を用いた量 GD² をはずみ車効果と呼び、単位は [kgf m²] である。慣性モーメント I とは次元が異なり、GD² = 4gI で換算する（g は重力加速度）^[9][10][11]。
• 国際単位系では、剛体の質量 G[kg]と直径 D[m] を用いた量 GD² をはずみ車効果と呼び、単位は [kg m²] である。慣性モーメント I と、GD² = 4I で換算する^{[12][13][14][15][16]}。

応用

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。