非凸性 (経済学)

非凸性（ひとつせい、英: Non-convexity）とは、凸性の仮定が成り立たないことを指す。基礎的な経済学の教科書は、凸選好（中間的な値よりも極端な値を好まない）を持つ消費者や、凸な予算集合、凸な生産集合を持つ生産者に焦点を当てる。凸性モデルでは、予測される経済行動は十分に理解されている^[1][2]。

しかし、凸性の仮定が破られると、競争市場の多くの望ましい性質が成り立たなくなる。このため、非凸性は市場の失敗と関連付けられ、需要と供給の不一致や市場均衡が非効率になる場合がある^{[1][3][4][5][6][7]}。非凸経済は、凸解析を一般化した劣微分を用いて研究される^{[7][8][9][10]}。

多数の消費者における需要

もし選好集合が非凸であるならば、ある価格は2つの異なる最適バスケット（最適消費量の集合）を支持する予算線を決定する。例えば、動物園においてライオンとワシの価格が同じで、予算がライオン1頭かワシ1羽のどちらかに十分であるとする。さらに飼育員が両者を同じ価値と考える場合、この動物園はライオンかワシのどちらかを購入するだろう。しかし、現代の飼育員はワシの半分とライオンの半分を購入したいとは思わない。したがって飼育員の選好は非凸である。飼育員は両者の凸的な組み合わせよりも、いずれか一方を好む。

消費者選好に凹形がある場合、線形予算は必ずしも均衡を支持しない。消費者は（同じ効用を持つ）2つの異なる配分の間を飛び移ることができる。

消費者の選好集合が非凸である場合、（ある価格において）その消費者の需要は連結空間ではなくなる。不連結な需要は消費者の不連続な行動を意味し、これはハロルド・ホテリングによって論じられた。

もし購入に関する無差別曲線が波打った性質を持ち、ある部分では原点に対して凸であり、別の部分では凹であるならば、重要性を持つのは原点に対して凸の部分のみであり、凹の部分は本質的に観察不可能である。我々がそれを検出できるのは、価格比率の変化に伴って需要に不連続性が現れるときだけである。すなわち、直線が回転する際に接点が裂け目を飛び越えることである。しかし、このような不連続性が裂け目の存在を示すことはあっても、その深さを測ることはできない。無差別曲線の凹の部分およびその多次元的一般化は、もし存在するならば、永遠に測定不可能な暗闇の中に残される^[11]。

ハーマン・ウォルド（英語版）も非凸選好の研究の困難さを強調し^[12]、さらにポール・サミュエルソンも、非凸性は「永遠の暗闇に覆われている」と述べている^[13]。この点についてはDiewertも指摘している^[14]。

凸性の仮定が破られると、競争市場の望ましい性質は成り立たなくなる。したがって、非凸性は市場の失敗と関連し、需要と供給の不一致や市場均衡が非効率的になる場合がある^[1]。

非凸選好は、1959年から1961年にかけて『Journal of Political Economy』（JPE）に掲載された一連の論文で明らかにされた。主要な貢献者はマイケル・ファレル（英語版）^[15]、フランシス・バター^[16]、チャリング・クープマンス^[17]、そしてジェローム・ローテンバーグ^[18]であった。特にローテンバーグの論文は非凸集合の和の近似的凸性を論じている^[19]。これらのJPE論文はロイド・シャープレーとマーティン・シュービック（英語版）による論文を刺激し、彼らは凸化された消費者選好を扱い「近似均衡」という概念を導入した^[20]。これらのJPE論文とシャープレー＝シュービック論文は、ロバート・オーマンによる「準均衡」の概念にも影響を与えた^[21][22]。

非凸集合は一般均衡理論に取り入れられてきた^[23][24][25]。これらの結果はミクロ経済学^[26]、一般均衡理論^[27]、ゲーム理論^[28]、数理経済学^[29]、および経済学者向けの応用数学において解説されている^[30] シャープレー＝フォークマン補題は、非凸性が多数の消費者を持つ市場において近似均衡と両立可能であることを示している。この結果は、多数の小規模企業を持つ生産経済にも適用される^[31]。

生産者が少数の場合の供給

非凸性は寡占や独占の状況で重要となる^[7]。例えば、ピエロ・スラッファが1926年に規模の収穫逓増を持つ企業について論じ^[32]、その後ハロルド・ホテリングが1938年に限界費用価格設定を研究した^[33]。これらは、大規模生産者の市場支配力に関する文献を刺激した。

現代経済学

近年の経済学研究では、非凸性は新しい分野でも認識されている。そこでは非凸性が市場の失敗と関連し、均衡が効率的でない、あるいは均衡そのものが存在しない場合がある^{[1][3][4][5][6][7]}。例えば、環境経済学や外部性^[5][6]、情報の経済学^[34]、株式市場や不完備市場（英語版）^[7]などに関連して現れる。

また、シャープレー＝フォークマン補題は、多数の消費者を持つ市場では非凸性が近似均衡と両立することを示し、生産経済にも応用されている^[35]。

時間にわたる最適化

上述の応用は、点が財のバンドルを表す有限次元のベクトル空間における非凸性に関するものである。しかし経済学者は、微分方程式、動的システム、確率過程、および関数解析学の理論を用いて、時間にわたる動的な最適化問題も考察している。経済学者が用いる最適化手法には以下が含まれる。

• 変分法 ― フランク・ラムゼー^[36]およびハロルド・ホテリング^[37]の研究に基づく。
• 動的計画法 ― リチャード・ベルマンやロナルド・ハワードに従う^[38][39]。
• 制御理論^[40]。

これらの理論においては、通常の問題は凸集合上で定義された凸関数を含み、この凸性が技術的簡略化や結果の経済学的解釈を可能にする^[41][42][43]。経済学では、マルティン・ベックマンとリチャード・F・マスが在庫理論や消費理論に関する研究で動的計画法を用いた^[44]。また、ロバート・C・マートンは1973年の論文においてインターテンポラル資本資産価格モデルを動的計画法で分析した^[45]（関連項目: マートンのポートフォリオ問題）。マートンのモデルでは、投資家は現在所得と将来所得や資本利得の間で選択し、その解が動的計画法によって得られる。ストーキー、ルーカス、プレスコットは、確率過程を含む経済理論の問題を解くために動的計画法を用いた^[46]。動的計画法は、最適な経済成長、資源採取、プリンシパル＝エージェント問題、公共財政、企業の投資、資産価格付け、生産要素供給、および産業組織論に応用されてきた。リュングクヴィストとサージェントは、金融政策、財政政策、租税、経済成長、サーチ理論、および労働経済学に関する様々な理論的課題を研究するために動的計画法を応用した^[47]。また、ディキシットとピンディックは投資評価に動的計画法を用いた^[48]。動的問題においても、非凸性は静態的な問題と同様に市場の失敗と関連している^[49][50]。

劣微分

経済学者は、劣微分を用いる劣微分を通じて非凸集合をますます研究するようになっている。これは凸解析を一般化したものである。凸解析は凸集合や凸関数を中心に強力な概念と明確な結果を提供するが、規模の経済のような非凸性を分析するには不十分である^[51]。「生産と消費の双方における非凸性は、凸性を超える数学的手法を必要とし、さらなる発展は劣微分の発明を待たなければならなかった」。例えば、フランシス・H・クラーク（英語版）のリプシッツ連続関数に対する微分学は、ラーデマッヘルの定理を利用し、Rockafellar & Wets (1998)^[52]やMordukhovich (2006)^[8]で説明されている。Khan (2008)によると、Brown (1995, pp. 1967–1968)は「価格決定ルールを持つ企業の一般均衡分析における主要な方法論上の革新は、劣微分の手法の導入であった」と述べている。Brown (1995, p. 1966)によれば「劣微分は、多様体を接平面で局所的に近似する手法を拡張し、凸集合を接円錐で近似する類似の方法を、滑らかでないあるいは非凸な集合にまで拡張する」ものである^[10]。また、代数的位相幾何学も経済学における凸集合や非凸集合の研究に用いられてきた^[53]。