クレインの条件

数学の解析学の分野におけるクレインの条件（クレインのじょうけん、英: Krein's condition）とは、指数関数の和

${\displaystyle \left\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\exp(i\lambda _{k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0\right\},\,}$

が実数直線上のある重み付き L₂ 空間において稠密であるための必要十分条件を与えるものである。マルク・クレインによって1940年に発見された^[1]。他にもクレインの条件と呼ばれるある系（corollary）があり、こちらはモーメント問題（英語版）の不定性のための十分条件を与えるものである^[2][3]。

内容

μ を、実数直線上のある絶対連続な測度で、dμ(x) = f(x) dx が満たされるものとする。指数関数の和

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\exp(i\lambda _{k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0}$

が L₂(μ) において稠密であるための必要十分条件は

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\infty }$

が成立することである。

モーメント問題の不定性

μ を上述のように定められる測度とする。μ のすべてのモーメント

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu (x),\quad n=0,1,2,\ldots }$

は有限であると仮定する。もし

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty }$

が成立するなら、μ についてのハンバーガーのモーメント問題（英語版）は不定である。すなわち、R 上の別の測度 ν ≠ μ で

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\nu (x),\quad n=0,1,2,\ldots }$

を満たすようなものが存在する。この事実は、上述のクレインの定理の必要性（only if）の部分より従う^[4]。

例

今

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp \left\{-\ln ^{2}x\right\}}$

とする。このとき測度 dμ(x) = f(x) dx はスティルチェス＝ウィガート測度と呼ばれる。今

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\ln ^{2}x+\ln {\sqrt {\pi }}}{1+x^{2}}}\,dx<\infty }$

が成立するため、μ についてのハンバーガーのモーメント問題は不定である。