スティルチェス＝ウィガート多項式

「スティルチェス多項式」とは異なります。

一般化されたスティルチェス＝ウィガート多項式については「q-ラゲール多項式」をご覧ください。

数学においてスティルチェス＝ウィガート多項式（スティルチェス＝ウィガートたこうしき、英: Stieltjes–Wigert polynomials）とは、トーマス・スティルチェスとカール・セヴェリン・ウィガート（英語版）の名にちなむ、基本階層構造（英語版）における${\displaystyle q}$-超幾何直交多項式のある族のことを言う。その重み函数は、正の実直線 x > 0 上の

${\displaystyle w(x)={\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp(-k^{2}\log ^{2}x)}$

で与えられる^[1]。

スティルチェス＝ウィガート多項式に対するモーメント問題（英語版）は不定である。すなわち、同様の直交多項式の族を与える多くの測度が存在する（クレインの条件を参照）。

Koekoek et al. (2010) の 14.27 節では、この多項式の持つ性質の詳細なリストが与えられている。

定義

この多項式はq超幾何級数およびqポッホハマー記号を用いて

${\displaystyle \displaystyle S_{n}(x;q)={\frac {1}{(q;q)_{n}}}{}_{1}\phi _{1}(q^{-n},0;q,-q^{n+1}x)}$

で与えられる^[2]。ここで q = e^−1⁄(2k2) である。

直交性

この多項式に対するモーメント問題は不定であるため、それらが直交となるような [0,∞] 上の重み函数には異なる多くのものが存在する。そのような重み函数の二つの例として

${\displaystyle {\frac {1}{(-x,-qx^{-1};q)_{\infty }}}}$

および

${\displaystyle {\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp(-k^{2}\log ^{2}x)}$

が挙げられる。