数学定数

数学定数（すうがくていすう）とは、なんらかの性質を持った定数である。

数学定数は、ふつうは実数体か複素数体の元である。数学定数と呼ばれうるものは、一つの変項を持ち、ZFC 集合論により証明可能な論理式により、それを満足するただ一つの数として決定可能 (definable) であり、ほとんどの場合はその値が計算可能 (computable) である。

変数を斜体で表すのに対し、定数であることを明示するために、立体を使うことがある。

数学定数でないもの

数学定数と同じく定数と呼ばれるものに「物理定数」があるが、物理定数は「数」というより「量」であり、単なる単位系の取り方によって数値が変わる。たとえば、光速度は物理定数だが、単位を変えれば 299792.458km/s、299792458m/s と、数値が変化する。

微細構造定数のような無次元量の物理定数は単位の取り方に依存しないが、他の物理定数同様、その値は物理的な計測で決定され、ある数式で数学的に決定される数学定数とは根本的に異なる。

物理定数の場合、計測の条件（重力の差による「重さ」の変化など）や結果により、数学定数より大きな誤差（不確かさ）も生じるが、将来、数学的に決定され数学定数であることが判明する可能性はある。

「1インチをセンチメートルで表した値 (= 2.54)」や「円周率を3や3.14、3.1415などにした数学定数のおよその値」のような、人為的に決められた数や、特定の場所で測定され便宜上「標準重力加速度(9.80665 m/s²)」とされた重力加速度などは数学定数ではない。

名前に定数とついていても数学定数ではないものもある。 例えば、チャイティンの定数は、計算模型を指定しなければ値が決まらず、数学定数ではない^[要出典]。

主な数学定数

記事がない定数の詳細は英語版を参照。

「分野」欄の略記は次の通り: 一般 - 数学一般、数論 - 数論、カオス - カオス理論、組合せ - 組合せ数学、情報 - 情報理論、解析 - 解析学。

「性質」欄の「有理数」は整数以外の有理数、「代数的数」は無理数の代数的数または虚数の代数的数、「無理数」は代数的数か超越数か不明の無理数を表す。

記号は重複がある。

記号	およその値	名称	分野	性質	発見年	既知の桁数
${\displaystyle 0}$	= 0	零、ゼロ	一般	整数	前7-前5世紀頃	∞
${\displaystyle \Lambda }$	≧ 0 ≦ 0.2	ド・ブルイン-ニューマン定数（英語版）	数論		1950年?	0
${\displaystyle l}$	≈ 0.11000 10000 00000 00000 00010 00000 00000	リウヴィル数		超越数	1844年	∞
${\displaystyle C_{10}}$	≈ 0.12345 67891 01112 13141 51617 18192 02122	チャンパーノウン定数		超越数	1934年	∞
${\displaystyle i^{i}}$	≈ 0.20787 95763 50762	iのi乗	一般	超越数
	≈ 0.23571 11317 19232 93137 41434 75359 61677	コープランド-エルデシュ定数		超越数
${\displaystyle M,M_{1}}$	≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	マイセル-メルテンス定数（英語版）	数論		1866年 1874年	8,010
${\displaystyle \beta }$	≈ 0.28016 94990 23869 13303	ベルンシュタインの定数（英語版）	解析
${\displaystyle \lambda }$	≈ 0.30366 30028 98732 65859 74481 21901 55623	ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング定数	組合せ		1974年	385
${\displaystyle \sigma }$	≈ 0.35323 63718 54995 98454	ハフナー-サルナック-マッカレー定数（英語版）	数論		1993年
${\displaystyle \sigma }$	≈ 0.41245 40336 40	プルーエ-トゥエ-モース定数（英語版）		超越数
${\displaystyle L}$	≧ 0.5 ≦ 0.543259	ランダウの定数（英語版）	解析			1
${\displaystyle \cos 1}$	≈ 0.54030 23058 6814	1の余弦		超越数
${\displaystyle \Omega }$	≈ 0.56714 32904 09783 87299 99686 62210 35555	オメガ定数		超越数		1,000,000
${\displaystyle \gamma }$	≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	オイラー・マスケローニ定数	一般, 数論		1735年	1,337,000,000,000[1]
${\displaystyle \lambda ,\mu }$	≈ 0.62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724	ゴロム・ディックマン定数（英語版）	組合せ 数論		1930年 1964年
	≈ 0.64341 05463	カーンの定数（英語版）		超越数	1891年	1,000,000
${\displaystyle C_{2}}$	≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	双子素数の定数	数論			5,020
	≈ 0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290	ラプラス限界（英語版）
${\displaystyle \ln 2}$	≈ 0.69314 71805 59945 30941 72321 21458	2の自然対数	一般	超越数		3,000,000,000,000[2]
${\displaystyle \beta ^{*}}$	≈ 0.70258	エンブリー・トレフセン定数（英語版）	数論
	≈ 0.73908 51332 15160 64165 53120 87673 87340	ドッティ数		超越数
	≈ 0.74048	3次元の最密充填密度		超越数
${\displaystyle K}$	≈ 0.76422 36535 89220 66299 06987 31250 09232	ランダウ・ラマヌジャンの定数	数論			30,010
	≈ 0.80939 40205	アラディ-グリンステッド定数	数論
${\displaystyle \sin 1}$	≈ 0.84147 09848 07896 50665 25023 21630 29899	1の正弦		超越数
${\displaystyle C_{2}}$	≈ 0.86224 01258 68054 57	2進チャンパーノウン定数		超越数
${\displaystyle B_{4}}$	≈ 0.87058 83800	四つ子素数に対するブルン定数	数論
	≈ 0.90689 96821 17109	2次元の最密充填密度		超越数
${\displaystyle K,G}$	≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	カタランの定数	組合せ			1,200,000,000,100[3]
${\displaystyle 1}$	= 1	一、単位元	一般	整数		∞
${\displaystyle B,B_{L}^{\prime }}$	≈ 1.08366	ルジャンドル定数	数論	整数		∞
${\displaystyle \Lambda }$	≈ 1.09868 58055	レンジェル定数	組合せ		1992年
${\displaystyle K}$	≈ 1.13198 824	ヴィスワナスの定数（英語版）	数論			8
	≈ 1.18656 91104	ヒンチン-レヴィ定数	数論
${\displaystyle \zeta (3)}$	≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999	アペリーの定数		無理数	1979年	2,020,569,031,595[4]
${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$	≈ 1.25992 10498 9487	2の立方根、デロスの定数	一般	代数的数
${\displaystyle A}$	≈ 1.28242 71291	グレイシャー・キンケリンの定数	一般	不明
${\displaystyle \theta }$	≈ 1.30637 78838 63080 69046 86144 92602 60571	ミルズの定数	数論		1947年	6,850
${\displaystyle \rho }$	≈ 1.32471 95724 47460 25960 90885 44780 97340	プラスチック数	数論	代数的数	1928年
${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	2の平方根、ピタゴラスの定数	一般	代数的数	前800年頃	20,000,000,000,000[5]
${\displaystyle \mu }$	≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744	ラマヌジャン・ゾルトナー定数（英語版）	数論			1,000,000
	≈ 1.45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	バックハウスの定数（英語版）
	≈ 1.46707 80794	ポーターの定数	数論		1975年
	≈ 1.53960 07178	リーブの正方氷定数（英語版）	組合せ		1967年
${\displaystyle E,E_{\mathrm {B} }}$	≈ 1.60669 51524 15291 763	エルデシュ・ボールウェイン定数（英語版）	数論	無理数
${\displaystyle \phi ,\tau }$	≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	黄金比	一般	代数的数	前3世紀	20,000,000,000,000[6]
	≈ 1.70521 11401 05367 76428 85514 53434 50816	ニーヴンの定数（英語版）	数論		1969年
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	≈ 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505	3の平方根、テオドルスの定数	一般	代数的数	前800年頃
${\displaystyle B_{2}}$	≈ 1.90216 05823	ブルン定数（双子素数に対する）	数論		1919年	10
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	≈ 2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623	5の平方根	一般	代数的数	前800年頃	1,000,000
${\displaystyle P_{2}}$	≈ 2.29558 71493 92638 07403 42980 49189 49039	放物線定数（英語版）		超越数
${\displaystyle \ln 10}$	≈ 2.30258 50929 94045 68401 79914 54684	10の自然対数	一般	超越数		1,200,000,000,100[7]
${\displaystyle \zeta _{\mathrm {S} }}$	≈ 2.41421 35623 73095 04880 16887 24210	白銀比	一般	代数的数
${\displaystyle \alpha }$	≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	第2ファイゲンバウム定数	カオス			10,026[8]
${\displaystyle K}$	≈ 2.58498 17595 79253 21706 58935 87383 17116	シェルピンスキーの定数（英語版）
${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$	≈ 2.66514 41426 9023	ゲルフォント・シュナイダー定数（英語版）、ビルベルト数		超越数
	≈ 2.68545 20010 65306 44530 97148 35481 79569	ヒンチンの定数（英語版）	数論		1934年	1,000,000
${\displaystyle e}$	≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	ネイピア数、オイラー数、自然対数の底	一般, 解析	超越数	1618年	35,000,000,000,000[9]
${\displaystyle F}$	≈ 2.80777 02420 28519 36522 15011 86557 77293	フランセン・ロビンソン定数（英語版）	解析
${\displaystyle \pi }$	≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	円周率、アルキメデスの定数、ルドルフ数	一般, 解析	超越数	前2000年頃	62,800,000,000,000[10]
	≈ 3.27582 29187 21811 15978 76818 82453 84386	レヴィの定数（英語版）
${\displaystyle \psi }$	≈ 3.35988 56662 43177 55317 20113 02918 92717	フィボナッチ数列の逆数和		無理数
${\displaystyle \delta }$	≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	第1ファイゲンバウム定数	カオス		1975年	10,022[11]
${\displaystyle e^{\pi }}$	≈ 23.14069 26327 7926	ゲルフォントの定数、e の π 乗		超越数		1,000,000
${\displaystyle i,j}$	= 0 + 1i	虚数単位、−1 の平方根	一般, 解析	代数的数	16世紀	∞
${\displaystyle u,e^{i}}$	≈ 0.54030 23058 6814 + 0.84147 09848 07897i	e の i 乗		超越数
${\displaystyle \omega }$	≈ −0.5 + 0.86602 54037 84439i	1の虚立方根、1の自明でない立方根		代数的数