確率母関数

確率母関数（かくりつぼかんすう、英: probability generating function）は、 確率論において離散的な 確率変数に対し定義される関数の一つ。確率変数の確率質量関数の冪級数表現、すなわち母関数である。確率母関数を用いることで確率分布をより簡潔に表せる状況で利用される。また、非負なる係数をもつ冪級数に関する、よく発展している理論を確率分布に適用する際にも用いられる。

定義

単変量の場合

${\displaystyle X}$ を、非負なる整数 ${\displaystyle \{0,1,\ldots \}}$ を値としてとる離散的確率変数とする。この時、${\displaystyle X}$ の確率母関数は次で定義される: ^[1]

$${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x}}$$ ここで、${\displaystyle p}$ は ${\displaystyle X}$ の確率質量関数であり、${\displaystyle \operatorname {E} (\cdot )}$は期待値を表す。なお、${\displaystyle X}$ という特定の確率変数に対し定義されるということを強調するために、${\displaystyle G}$ や ${\displaystyle p}$ が下添字付きの ${\displaystyle G_{X}}$ や ${\displaystyle p_{X}}$として書き表されることも多々ある。この無限級数は少なくとも ${\displaystyle |z|<1}$ を満たす任意の複素数 ${\displaystyle z}$ に対して絶対収束するが、実際の収束半径はそれよりも大きい場合も多い。

多変量の場合

${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{d})}$を ${\displaystyle d}$ 次元の確率変数とし、${\displaystyle X_{i}}$ はそれぞれ非負整数を値として取るとする。この時、${\displaystyle X}$ の確率母関数は次で定義される: $${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$$ ここで、再び ${\displaystyle p}$ は ${\displaystyle X}$ の確率質量関数であり、${\displaystyle \operatorname {E} (\cdot )}$は期待値を表す。この無限級数は少なくとも${\displaystyle z=(z_{1},...z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}$であって、 ${\displaystyle {\text{max}}\{|z_{1}|,...,|z_{d}|\}\leq 1}$ を満たす任意の ${\displaystyle d}$ 次元複素数ベクトル ${\displaystyle z}$ に対して絶対収束する。

性質

冪級数として

定義式から自明であるが、確率母関数は非負なる係数をもつ冪級数の性質全てに従う。特に、${\displaystyle G(1^{-})=\lim _{x\to 1,x<1}G(x)}$を、${\displaystyle x}$を下側から1に近づける極限として定義した場合、${\displaystyle G(1^{-})=1}$が成立する。これは、確率分布全体の和が1とならなければならないからである。そのため、非負なる係数をもつべき級数に対するアーベルの連続性定理の帰結として、任意の確率母関数の収束半径は最低でも1となる。

確率と期待値

以下の性質により、${\displaystyle X}$ に関する様々な基本的量を確率母関数から計算できる:

1. 確率母関数の ${\displaystyle k}$-次微分を取ることで、${\displaystyle X=k}$ となる確率が得られる: $${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}}$$
2. 確率変数${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$の確率母関数が一致する(${\displaystyle G_{X}=G_{Y}}$)ならば、確率質量関数も一致する(${\displaystyle p_{X}=p_{Y}}$)。これは1.で述べた性質より導かれる。
3. 確率質量関数が規格化されていることは、確率母関数を用いて次のように表される: $${\displaystyle \operatorname {E} [1]=G(1^{-})=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)=1}$$ また、${\displaystyle X}$ の期待値 は $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=G'(1^{-})}$$ で表されることもわかる。さらに一般的には、${\displaystyle X}$ の${\displaystyle k}$-次の階乗モーメント（英語版） ${\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\cdots (X-k+1)]}$ が$${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X!}{(X-k)!}}\right]=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0}$$ で表される。よって、${\displaystyle X}$ の分散は $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}}$$ により計算される。一方、${\displaystyle X}$ の${\displaystyle k}$-次のモーメントは$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}$$により与えられる。
4. ${\displaystyle M_{X}(t)}$ を、確率変数 ${\displaystyle X}$ の積率母関数としたとき、${\displaystyle X}$ の確率母関数と${\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$により結びつく。

独立な確率変数に関する関数

確率母関数は、独立な確率変数に対する関数を考察する際にとりわけ有用である。以下にその例を数点示す:

• ${\displaystyle X_{i}(i=1,2,\cdots ,N)}$ が独立な(ただし必ずしも同じ分布には属しない)確率変数列とし、それぞれ非負整数を値として取りうるとする。 ${\displaystyle a_{i}}$を整数の定数列としたとき、確率変数 ${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}}$に関する確率母関数は、以下のようにそれぞれの${\displaystyle X_{i}}$に関する確率母関数を用いて記述できる:

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\operatorname {E} \left(z^{\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}\right)=\prod _{k=1}^{N}G_{X_{k}}(z^{a_{k}})}$

• 特に ${\displaystyle X,Y}$が独立かつそれぞれ非負整数値を取る時、以下が成立する:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{X+Y}(z)&=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(z)\\G_{X-Y}(z)&=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(1/z)\end{aligned}}}$

• 上述した例では、確率変数列に含まれる確率変数の個数 ${\displaystyle N}$ は固定されていた。いま、 ${\displaystyle N}$ もまた非負なる整数を値にとる確率変数であるとし、さらにその分布は ${\displaystyle X_{i}}$ とも独立であるとする。${\displaystyle X_{i}}$ が独立同分布であるとすれば、${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ に関する確率母関数は$${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z))}$$で表せる。ここで、${\displaystyle G_{N}}$ を ${\displaystyle N}$ に関する確率母関数とした。これは以下のようにして示される:$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}\\[4pt]&=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z))\end{aligned}}}$$ この性質は、ゴルトン・ワトソン過程（英語版）や複合ポアソン過程（英語版）を考察する際に有用である。
• 再び ${\displaystyle N}$ が確率変数であるとする。${\displaystyle X_{i}}$ を独立だが必ずしも同一分布とはみなせない確率変数列とする(ただし、${\displaystyle N}$ との独立性は保証されているものとする)。この場合、${\displaystyle f_{n}=\Pr(N=n)}$として、${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{n\geq 1}f_{n}\prod _{i=1}^{n}G_{X_{i}}(z)}$ が成立する。独立同分布な ${\displaystyle X_{i}}$ に対しては直前の性質を再現するが、一般的な状況で ${\displaystyle S_{N}}$ を確率母関数の観点で分解する手法があることは時として有用である。

いくつかの分布に対する具体例

• ${\displaystyle X}$ が退化分布に従うとき、すなわち${\displaystyle \Pr(X=c)=1}$かつ ${\displaystyle \Pr(X\neq c)=0}$であるとき、${\displaystyle X}$ の確率母関数は${\displaystyle G_{X}(z)=z^{c}}$である。
• 試行回数 ${\displaystyle n}$、成功確率 ${\displaystyle p}$ を母数に持つ二項分布の確率母関数は $${\displaystyle G(z)=\left(1-p+pz\right)^{n}}$$である。注: これは、成功確率 ${\displaystyle p}$ を母数にもつベルヌーイ分布の確率母関数を ${\displaystyle n}$ 乗したものに一致する。
  特に、公正なコインを１回投げる場合の確率母関数は$${\displaystyle G(z)={\frac {1}{2}}+{\frac {z}{2}}}$$となる。
• ${\displaystyle \{0,1,2\cdots \}}$を台とする負の二項分布であって、試行終了までの成功回数 ${\displaystyle r}$ と成功確率 ${\displaystyle p}$ を母数として持つものの確率母関数は、負の二項定理を用いることで${\displaystyle G(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r}}$により与えられることが示される。なお、${\displaystyle |z|<{\frac {1}{1-p}}}$であればこの関数は収束する。
  注: これは、${\displaystyle \{0,1,2,\cdots \}}$を台に持ち、成功確率が ${\displaystyle 1-p}$ であるような幾何分布の確率母関数を ${\displaystyle n}$ 乗したものに一致する。
• レートパラメータ ${\displaystyle \lambda }$ を母数に持つポアソン分布の確率母関数は $${\displaystyle G(z)=e^{\lambda (z-1)}}$$で与えられる。

関連する概念

確率母関数は母関数の一種である。詳細は形式的冪級数を参照せよ。また、確率母関数は確率質量関数に対してZ変換を行ったものと等価であり、そう呼ばれることもある。

確率変数に対する母関数には、他にも積率母関数、特性関数、キュムラント母関数などがある。 確率母関数は、${\displaystyle \operatorname {E} \left[z^{X}\right]}$で表される階乗モーメント母関数（英語版）の特別な場合とみなせる。